Поскольку показательный закон распределения впол­не приемлемым образом соответствует большому коли­честву реальных систем обслуживания, а также в связи с тем, что основные характеристики систем обслужива­ния зависят, главным образом, не от вида закона распределения, а от среднего значения времени обслу­живания, в практических исследованиях обычно исполь­зуется допущение о показательности закона распреде­ления времени обслуживания. Важно также, что эта гипотеза позволяет существенно упростить математиче­ский аппарат, применяемый для анализа систем массо­вого обслуживания.

1.3.4 Основные типы систем массового обслуживания и  показатели эффективности  их функционирования

Важным признаком классификации систем массово­го обслуживания является поведение поступившего в систему требования в ситуации, когда все обслужи­вающие аппараты заняты. При этом в одних случаях требование не может ждать момента освобождения си­стемы обслуживания и покидает ее не обслуженным. Тре­бование, поступившее в систему обслуживания и полу­чившее отказ, потеряно для системы. Поэтому такие системы обслуживания называют системами с отказами или системами с потерями.

В других случаях требование может более или ме­нее долго ожидать начала обслуживания, т. е. момента освобождения одного из обслуживающих аппаратов си­стемы. Совокупность таких требований образует оче­редь. Если при этом время ожидания для каждого из требований не ограничено, система обслуживания на­зывается чистой системой с ожиданием или системой без потерь. В противном случае, когда это время ограни­чено какими-либо условиями, систему называют систе­мой обслуживания смешанного типа. Характер ограниче­ний в системах смешанного типа может быть различ­ным. Во многих случаях ограничение накладывается на продолжительность ожидания в очереди, т. е. каждое из поступивших требований покидает систему, если обслу­живание не началось до определенного момента време­ни, однако начатое обслуживание доводится до конца. В других случаях более естественным является нало­жить ограничение сверху на общее время пребывания требования и системе. Наконец, ограничение может быть наложено на длину очереди, т. е. требование становится в очередь и ожидает обслуживания только в том случае, если длина очереди (число ожидающих требований) не слишком велика.

Естественным критерием эффективности системы об­служивания с отказами является вероятность отказа в обслуживании (вероятность потери требования). Так как отказ происходит только в том случае, когда все обслуживающие аппараты заняты, соответствующие ве­роятности равны между собой.

Степень загрузки системы обслуживания с отказами характеризует закон распределения числа занятых аппа­ратов. Во многих случаях для характеристики эффек­тивности системы обслуживания с отказами достаточно указать среднее число занятых аппаратов.

В системе обслуживания без потерь требование на­ходится до тех пор, пока не будет, закончено его обслу­живание. Исходя из этого, могут быть сформулированы основные критерии эффективности функционирования таких систем. Это, прежде всего, длина очереди. По­скольку число требований, ожидающих начала обслужи­вания в очереди, случайно, наиболее полной характе­ристикой этой величины является закон ее распределе­ния. Знание этого закона позволяет рассчитать среднее число требований, ожидающих обслуживания, вероят­ность того, что длина очереди превысит заданную и т.д. Другим важным критерием для оценки эффективности таких систем является время ожидания начала обслу­живания, наиболее полно характеризуемое своим зако­ном распределения. С использованием этого закона мо­жет быть вычислено среднее значение времени ожида­ния, вероятность того, что обслуживание будет начато в течение некоторого заданного интервала времени и т. п. Наконец, характеристикой таких систем является закон распределения числа аппаратов, занятых обслужи­ванием, позволяющий рассчитать среднее число заня­тых аппаратов, вероятность занятости числа аппаратов, превышающее заданное, и т. п.

Для оценки эффективности систем обслуживания смешанного типа могут быть использованы все перечис­ленные выше критерии. Кроме них, используются и не­которые специфические критерии. Например, для систе­мы, в которой ограничено общее время пребывания требования в системе, определенный интерес представ­ляет расчет времени, затраченного на обслуживание требований, которые покидают систему до момента окон­чания их обслуживания. Если частичное обслуживание не обеспечивает решения задачи обслуживания, то име­ют место непроизводительные потери, учет которых ха­рактеризует эффективность системы.

Все перечисленные критерии в той или иной степени информативно характеризуют приспособленность рас­сматриваемой системы для выполнения поставленных перед ней задач. Анализ численных значений критериев позволяет сделать выводы относительно реальной эф­фективности системы и выработать рекомендации по ее повышению.

1.3.5 Система массового обслуживания с ожиданием

Как уже отмечалось, система массового обслужива­ния называется системой с ожиданием, если заявка, за­ставшая все каналы занятыми, становится в очередь. В таких системах важную роль играет так называемая «дисциплина очереди». Ожидающие в очереди заявки могут поступать на обслуживание как в порядке оче­реди, так и в случайном порядке. Существуют системы массового обслуживания с приоритетом, когда некото­рые выделяемые по какому-либо признаку заявки об­служиваются в первую очередь.

Каждый тип системы с ожиданием имеет свои осо­бенности и свою математическую теорию. Здесь будет рассмотрен один из самых простых вариантов смешан­ной системы обслуживания, часто встречающийся на практике.

Пусть на вход n-канальной системы обслуживания поступает простейший поток требований с плотностью . Время обслуживания каждой из заявок  распреде­лено по показательному закону с параметром . Заявка, заставшая все каналы системы за­нятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания. Время ожидания  будем считать случайным и рас­пределенным по показательному закону

                                                                                                                       (1.30)

где параметр  - величина, обратная среднему време­ни ожидания, т. е.

Благодаря допущениям о том, что входящий поток является простейшим, а распределения времени обслу­живания и времени ожидания — показательные, процесс функционирования системы является марковским.

Перечислим состояния системы. Будем нумеровать их не по числу занятых каналов, как это сделано ранее, а по числу заявок, связанных с системой. При этом бу­дем заявку называть связанной с системой, если она либо обслуживается, либо ожидает в очереди. Возмож­ные состояния системы:

- свободны все каналы, очереди нет,

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25