Докажем, что закон распределения отобранных таким образом чисел  соответствует распределению  Для доказательства выберем интервал  и введем области

                                         и

                                                           (1.13)

Вычислим вероятность попадания не отброшенных точек в область  Так как

                                                            (1.14)

а

                                                      (1.15)

и

                                   (1.16)

то искомая вероятность

                                                                      (1.17)

полученная вероятность равна вероятности попадания случайной величины, распределенной в соответствии с на интервал  откуда следует требуемое.

1.3 Элементы теории массового обслуживания

1.3.1. Предмет теории массового обслуживания

Одним из математических методов исследования сто­хастических сложных систем является теория массового обслуживания, занимающаяся анализом эффективности функционирования так называемых систем массового обслуживания. Работа любой такой системы заключает­ся в обслуживании поступающего на нее потока требо­ваний, или заявок. Заявки поступают на систему одна за другой в некоторые, вообще говоря, случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продол­жается какое-то время, после чего система освобожда­ется для обслуживания очередной заявки. Каждая такая система может состоять из нескольких независимо функ­ционирующих единиц, которые называют каналами обслуживания, или обслуживающими аппаратами. При­мерами таких систем могут быть: телефонные станции, билетные кассы, аэродромы, вычислительные центры, радиолокационные станции и т. д. Типичной системой массового обслуживания является автоматизированная система управления производством.

Математический аппарат теории массового обслу­живания позволяет оценить эффективность обслужива­ния системой заданного потока заявок в зависимости от характеристик этого потока, числа каналов системы и производительности каждого из каналов.

В качестве критерия эффективности системы обслу­живания могут быть использованы различные величины и функции, например: вероятность обслуживания каж­дой из поступающих заявок, средняя доля обслуженных заявок, среднее время ожидания обслуживания, среднее время простоя каждого из каналов и системы в целом, закон распределения длины очереди, пропускная способ­ность системы и т. д. Численное значение каждого из этих критериев в той или иной степени характеризует степень приспособленности системы к выполнению по­ставленной перед ней задачи — удовлетворение потока поступающих в систему требований.

Часто термин «пропускная способность» использует­ся в следующем узком смысле: среднее число заявок, ко­торое система может обслужить в единицу времени. Эффективность систем обслуживания может быть оце­нена также величиной относительной пропускной спо­собности— средним отношением числа обслуженных заявок к числу поступивших.

В силу случайного характера моментов поступления заявок процесс их обслуживания представляет собой случайный процесс. Теория массового обслуживания позволяет получить математическое описание этого про­цесса, изучение которого дает возможность оценить про­пускную способность системы и дать рекомендации по рациональной организации обслуживания.

Все системы массового обслуживания имеют вполне определенную структуру, схематически изображенную на рис. 1.2. В соответствии с рисунком в любой системе массового обслуживания будем различать следующие основные элементы: входящий поток, выходящий поток, собственно система обслуживания.

Поток требований, нуждающихся в обслуживании и поступающих в систему обслуживания, называется вхо­дящим. Поток требований, покидающих систему обслу­живания, называется выходящим.

Рис. 1.2 - Схема системы массового обслуживания

Совокупность обслуживающих аппаратов вместе с системой правил, уста­навливающих организацию обслуживания, образуют систему обслуживания.

1.3.2 Входящий поток. Простейший поток и его свойства

События, образующие входящий поток, вообще гово­ря, могут быть различными, но здесь будет рассматри­ваться лишь однородный поток событий, отличающихся друг от друга только моментами появления. Такой по­ток можно представить в виде последовательности точек  на числовой оси (рис. 1.3), соответствую­щих моментам появления событий.

Рис. 1.3 - Однородный поток событий

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные про­межутки времени. Такие потоки редко встречаются в реальных системах, для которых типичным является именно случайность моментов поступления требований. Рассмотрим случайный входящий поток, обладающий особенно простыми свойствами.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25