Введем ряд определений:

1. Поток событий называется стационарным, если ве­роятность поступления заданного числа событий в тече­ние интервала  времени  фиксированной длины зависит только от продолжительности этого интервала, но не за­висит от его расположения на временной оси.

2.  Поток событий называется ординарным, если ве­роятность появления двух или более событий в течение элементарного    интервала    времени    есть    величина бесконечно малая по сравнению с вероятностью появле­ния одного события на этом интервале.

3.  Поток событий называется потоком без последей­ствия, если для любых не перекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Если поток событий удовлетворяет всем трем пере­численным условиям (т. с. он стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим потоком. Для простейшего потока число событий, попа­дающих па любой фиксированный интервал времени, распределено по закону Пуассона, поэтому его иначе на­зывают стационарным пуассоновским.

Условию стационарности удовлетворяет поток зая­вок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, постоянной является плотность потока — среднее число заявок в единицу времени. За­метим, что свойство стационарности выполняется, по крайней мере на ограниченном отрезке времени, для многих реальных процессов.

Условие ординарности означает, что заявки поступа­ют в систему поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток обстрелов, которому подвергается воз­душная цель в зоне действия комплекса ЗРВ, является ординарным, если стрельба ведется одиночными ракета­ми, и не является ординарным, если стрельба идет одно­временно двумя или тремя ракетами.

Условие отсутствия последействия является наиболее существенным для простейшего потока. Выполнение это­го условия означает, что заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, можно сказать, что последействие отсутствует для потока пассажиров, входящих в метро, так как отсутствует зависимость между причинами, вызвавшими приход каждого из пас­сажиров на станцию. Но как только эта зависимость появляется, условие отсутствия последействия нару­шается. Например, поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не обладает свойством последейст­вия, так как моменты выхода для пассажиров, прибывших на станцию одним и тем же поездом, зависимы между собой.

Вообще следует заметить, что выходящие потоки заявок, покидающих систему обслуживания, обычно имеют последействие, даже если входящий поток его не имеет. В этом легко убедиться на примере рассмотрения выходящего потока для одноканальной системы массо­вого обслуживания с фиксированным временем обслу­живания . Выходящий поток такой системы обладает тем свойством, что минимальный интервал между после­довательными обслуженными заявками будет равен . При этом, если в некоторый момент  систему покинула заявка, то можно утверждать, что на интервале  обслуженных заявок больше не появится и, та­ким образом, имеется зависимость между числом собы­тий на не перекрывающихся интервалах.

Отметим, что, если на систему обслуживания посту­пает самый простой, на первый взгляд, регулярный по­ток, анализ процессов функционирования системы явля­ется существенно более сложным, чем, например, при поступлении простейшего потока, именно вследствие же­сткой функциональной зависимости, которая имеет ме­сто для заявок регулярного потока.

В дальнейшем будет рассматриваться только про­стейший входящий поток в силу особой его роли в тео­рии массового обслуживания.

Дело в том, что простейшие или близкие к простей­шим потоки заявок часто встречаются на практике. Кро­ме   того, при анализе систем обслуживания во многих случаях можно получить    вполне    удовлетворительные результаты, заменяя входящий поток любой структуры простейшим    с той же плотностью.    Наконец,   важное свойство простейшего потока состоит   в том,    что при суммировании большого числа ординарных, стационар­ных потоков с практически любым последействием по­лучается поток, сколь угодно близкий к простейшему. Условия, которые должны при этом соблюдаться, аналогичны условиям центральной предельной теоремы: скла­дываемые потоки должны оказывать на сумму равно­мерно малое влияние.

Получим аналитическое описание простейшего потока и рассмотрим его свойства подробнее.

Рис. 1.4 - Простейший поток событий

Рассмотрим на оси  простейший поток событий (рис. 1.4) как неограниченную последовательность слу­чайных точек. Выделим произвольный интервал времени длиной . Как уже отмечалось, если поток событий является простейшим, то число событий, попадающих на интервал т, распределено по закону Пуассона с матема­тическим ожиданием

                                                                                                        (1.18)

где - плотность потока.

В соответствии с законом Пуассона вероятность того, что за время  произойдет ровно т событий, равна

                                                        (1.19)

Тогда вероятность того, что не произойдет ни одного события, будет

                                                                                                     (1.20)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25