Отсюда вероятность того, что за время  произойдет хотя бы одно событие, равна

                                                                                     (1.21)

Важной характеристикой потока является закон распределения длин интервалов между событиями. Пусть  - случайная длина интервала времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем по­токе (рис. 1.4) и  - искомый закон рас­пределения продолжительности временного интервала между последовательными событиями. С другой сторо­ны, вероятность  может быть интерпретирована как вероятность появления хотя бы одного события в те­чение временного интервала продолжительностью t, начинающегося в момент поступления в систему некото­рого события.

Поскольку простейший поток не обладает последей­ствием, наличие события в начале интервала t не оказы­вает никакого влияния на вероятность появления собы­тий в дальнейшем. Поэтому вероятность  может быть вычислена по формуле

                                                                       (1.22)

откуда, имея в виду (1.20),

                                                                           (1.23)

Дифференцируя (1.23), находим плотность распреде­ления длин интервалов между последовательными со­бытиями

                                                                         (1.24)

Закон распределения с плотностью (1.24) называется показательным с параметром λ.

1.3.3 Время обслуживания            

Как уже отмечалось, эффективность системы обслу­живания зависит не только от характеристик входящего потока, но и от производительности самой системы об­служивания, т. е. от числа каналов и быстродействия каждого из них. В связи с этим время обслуживания одной заявки Тоб является важной характеристикой системы, В силу самых различных причин время обслу­живания в реальных системах может меняться от одного требования к другому. Поэтому в общем случае разум­но считать время обслуживания случайной величиной.

Введем закон распределения времени обслуживания

                                                                                        (1.25)

и плотность его распределения

                                                                                                     (1.26)

Для практики особый интерес представляет случай, когда продолжительность времени обслуживания имеет показательный закон распределения, т. е.

                                                                                                 (1.27)

Параметр  имеет простой физиче­ский смысл. Величина, обратная , равна математиче­скому ожиданию времени обслуживания.

Важная роль, которую играет показательный закон времени обслуживания, связана с уже упоминавшимся свойством этого закона. Применительно к данному слу­чаю оно формулируется следующим образом: если в ка­кой-то момент происходит обслуживание требования, то закон распределения оставшегося времени обслужива­ния не зависит от того, сколько времени обслуживание уже продолжалось.

Таким образом, процесс обслуживания заявок не обладает последействием и поэтому для его анализа может быть использован аппарат теории марковских процессов.

Показательный закон распределения времени обслу­живания имеет место во многих практических задачах, когда обслуживание сводится к последовательности по­пыток, каждая из которых приводит к необходимому результату с некоторой вероятностью.

Примером такого обслуживания является обстрел цели, заканчивающийся после поражения цели. Предпо­ложим, что последовательность выстрелов, каждый из которых поражает цель с вероятностью , образует про­стейший поток с плотностью .

Из этого потока выделим поток успешных выстре­лов (выстрел будем называть успешным, если имеет место попадание в цель). Поскольку каждый из выстре­лов независимо от других может оказаться успешным, поток успешных выстрелов так же, как и исходный, будет простейшим с плотностью .

Закон распределения интервала времени между по­паданиями имеет вид

                                                                               (1.28)

откуда плотность распределения времени обслуживания      

                                                                                                        (1.29)

что  соответствует  показательному   закону   с  парамет­ром .

Количество примеров реальных систем, в которых обслуживание сводится к последовательности попыток, можно значительно увеличить. К такому типу можно отнести обслуживание по устранению неисправностей технических устройств, когда поиск неисправного эле­мента ведется путем использования ряда тестов. Совершенно аналогичной является задача обслуживания, за­ключающаяся в обнаружении воздушной цели радиоло­катором, многократно зондирующим исследуемое про­странство, причем цель может с некоторой вероятностью обнаруживаться в каждом из циклов обзора.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25