;
и т.д.
Параметры экспоненциальных и S-образных кривых находятся более сложными методами. Для простой экспоненты предварительно логарифмируют выражение по некоторому основанию (например, десятичному или натуральному):
т.е. для логарифма функции получают линейное выражение, а затем для неизвестных параметров log a и log b составляют на основе метода наименьших квадратов систему нормальных уравнений, аналогичную системе для полинома первой степени. Решая эту систему, находят логарифмы параметров, а затем и сами параметры модели.
При определении параметров кривых роста, имеющих асимптоты (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), различают два случая. Если значение асимптоты k известно заранее, то путем несложной модификации формулы и последующего логарифмирования определение параметров сводят к решению системы нормальных уравнений, неизвестными которой являются логарифмы параметров кривой.
Если значение асимптоты заранее неизвестно, то для нахождения параметров указанных выше кривых роста используются приближенные методы: метод трех точек, метод трех сумм и др. Таким образом, при моделировании экономической динамики, заданной временным рядом, путем сглаживания исходного ряда, определения наличия тренда, отбора одной или нескольких кривых роста и определения их параметров в случае наличия тренда получают одну или несколько трендовых моделей для исходного временного ряда.
2.4.1.3. Определение адекватности трендовой модели.
Независимо от вида и способа построения экономико-математической модели вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования экономического явления может быть решен только после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.
Трендовая модель конкретного временного ряда yt считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента (t = 1, 2, ..., n) удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда: случайность колебаний уровней остаточной последовательности, соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты.
Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности означает проверку гипотезы о правильности выбора вида тренда. Для исследования случайности отклонений от тренда необходимо рассмотреть набор разностей
(t = 1, 2, …, n) (49)
Характер этих отклонений изучается с помощью ряда непараметрических критериев. Одним из таких критериев является критерий серий, основанный на медиане выборки. Ряд из величин εt располагают в порядке возрастания их значений и находят медиану εm полученного вариационного ряда, т.е. срединное значение при нечетном n или среднюю арифметическую из двух срединных значений при n четном. Возвращаясь к исходной последовательности εt и сравнивая значения этой последовательности с εm, будем ставить знак «плюс», если значение εt, превосходит медиану, и знак «минус», если оно меньше медианы; в случае равенства сравниваемых величин соответствующее значение εt опускается. Таким образом, получается последовательность, состоящая из плюсов и минусов, общее число которых не превосходит n. Последовательность подряд идущих плюсов или минусов называется серией. Для того чтобы последовательность εt была случайной выборкой, протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком малым.
Протяженность самой длинной серии обозначается через Kmax, а общее число серий - через ν. Выборка признается случайной, если выполняются следующие неравенства для 5%-ного уровня значимости:
; (50)
, (51)
где квадратные скобки означают целую часть числа.
Если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается и, следовательно, трендовая модель признается неадекватной.
Другим критерием для данной проверки может служить критерий пиков (поворотных точек). Уровень последовательности εt считается максимумом, если он больше двух рядом стоящих уровней, т.е.
εt-1 < εt > εt+1, (52)
и минимумом, если он меньше обоих соседних уровней, т.е.
εt-1 > εt < εt+1. (52’)
В обоих случаях εt считается поворотной точкой; общее число поворотных точек для остаточной последовательности εt обозначим через p.
В случайной выборке математическое ожидание числа точек поворота р и дисперсия выражаются формулами:
; . (53)
Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства
, (54)
где квадратные скобки означают целую часть числа. Если это неравенство не выполняется, трендовая модель считается неадекватной.
Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения может быть произведена лишь приближенно с помощью исследования показателей асимметрии (γ1) и эксцесса (γ2),так как временные ряды, как правило, не очень велики. При нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса некоторой генеральной совокупности равны нулю. Мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из генеральной совокупности, поэтому можно определить только выборочные характеристики асимметрии и эксцесса и их ошибки:
; ; (55)
; ; (56)
В этих формулах - выборочная характеристика асимметрии; - выборочная характеристика эксцесса; и - соответствующие среднеквадратические ошибки.
Если одновременно выполняются следующие неравенства:
; , (57)
то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты принимается.
Если выполняется хотя бы одно из неравенств
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
