Запишем условия Куна-Таккера для задачи (3.5.1) с произвольным набором индексов
Á :
(3.5.2)
Используя ранее введенные обозначения (3.2.3-3.2.4), систему условий Куна-Таккера (3.5.2) можно записать следующим
образом:
(3.5.3)
Если множество UÁпорождает базис, вследствие (3.5.3) поиск минимума на многообразии XÁ представляет собой разложение вектора
P0 по этому базису, т.е. эквивалентен
решению системы линейных уравнений. Таким образом, метод субоптимизации на
многообразиях в случае задачи квадратичного программирования оказывается
эффективным в том случае, если в цепочке
итерационного процесса встречаются только множества индексов, порождающие
базисы.
Процедура метода строится на двух основных
операциях, аналогичных блокам общего алгоритма субоптимизации на многообразиях
для задачи выпуклого программирования.
Операция А. Пусть для
некоторого набора индексов Á0 определена оптимальная точка
x* и множители Лагранжа l*k и D*j удовлетворяющие условиям Куна-Таккера
совместно с оптимальным вектором x. Рассмотрим
вспомогательное многообразие
(3.5.4)
Операция А состоит в нахождении оптимального вектора x*(q), а также множителей Лагранжа,
удовлетворяющих условиям Куна-Таккера задачи минимизации квадратичного
функционала на многообразии (3.5.4).
Запишем условия Куна-Таккера для этой
вспомогательной задачи: