|
|
здесь x-вектор столбец размера n, C- вектор-строка размера 1´n, D - матрица размера n´n, симметричная и неотрицательно определенная (D ³ 0). b - столбец длины m. A - матрица размера m´n, ранг ее равен m (R(A) = m).
Имеет место также условие неотрицательности компонентов вектора x:
x ³ 0.
Поскольку наличие компонента Cx не оказывает существенного влияния на результаты, изложенные в настоящей работе, будем без ограничения общности предполагать вектор C нулевым. В такой постановке задача принимает вид:
(3.1.2)
В данной постановке задача квадратичного программирования всегда имеет оптимальный вектор, и является задачей выпуклого программирования с линейными ограничениями типа равенств.
3.2 Условия оптимальности в задаче (3.2)
Условия оптимальности в задаче (3.2) представляют собой формулировку условий Куна-Таккера для этой задачи. Будем рассматривать следующую форму записи условий Куна-Таккера для задачи выпуклого программирования:
(3.2.1)
В нашем случае получим:
(3.2.2)
Здесь Ai- столбцы матрицы A длины m, Di столбцы матрицы D длины n, Lk - строки матрицы A длины n, ej - n-мерные столбцы единичной матрицы. Здесь и далее xi - компоненты оптимального вектора задачи x, lk и Dk - множители Лагранжа условий Куна-Таккера. Запишем систему 3.2.2 в более обобщенной форме:
(3.2.3)
где составные столбцы P0, ... Pm+2n каждый длиной m+n являются столбцами блочной матрицы P, имеющей следующий вид:
(3.2.4)
В таком виде условия Куна-Таккера (3.2.3) можно записать в еще более простом виде:
(3.2.5)
Поскольку рассматриваемая нами задача является задачей выпуклого программирования, указанные условия существования минимума являются одновременно необходимыми и достаточными. Доказательство указанных условий можно найти в [1,2].
3.3. Базис задачи квадратичного программирования. Оптимальный и невырожденный базисы.
Поскольку ранг матрицы A равен m (см 3.1), система векторов
являются линейно независимой системой векторов. В то же время, легко видно, что линейная оболочка, натянутая на систему векторов P совпадает с пространством Em+n, т.е L(P)=En+m.
Следовательно из системы векторов 3.2.4 можно образовать конечное число базисов N евклидова пространства En+m, содержащих в себе векторы P1, .. Pm. Такие базисы пространства En+m будем называть базисами задачи квадратичного программирования, и обозначать следующим образом:
(3.3.1)
Для упрощения схемы алгоритма, запишем базис (3.3.1) в следующем виде:
(3.3.2)
Здесь Á1 и Á2 - наборы индексов. В случае, если Á1=Á2 будем считать базис UÁ1,Á2 порожденным одним множеством индексов Á=Á1.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.