Реферат
Дипломная работа содержит 78 страниц, 2 приложения, 1 рисунок.
Список ключевых слов: программирование, квадратичное, параметрическое.
В данной работе рассматривается применение метода субоптимизации на многообразиях к решению задачи параметрического квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений, и решению с помощью указанного метода задачи об оптимальном выборе портфеля ценных бумаг. Рассматриваются свойства алгоритма, и обосновывается его применимость к задаче квадратичного программирования.
Содержание
1. Введение.........................................................................................................................................................
2.Аналитический обзор...........................................................................................................................
3. Теоретическая часть.........................................................................................................................
3. Задача квадратичного программирования (непараметрический случай).
3.1 Постановка задачи:..............................................................................................................................
3.2 Условия оптимальности в задаче (3.2).......................................................................................
3.3. Базис задачи квадратичного программирования. Оптимальный и невырожденный базисы.
3.4. Метод субоптимизации на многообразиях. Выпуклый случай.........................................
3.5 Метод субоптимизации на многообразиях. Задача квадратичного программирования.
3.6. Метод субоптимизации на многообразиях в задаче квадратичного программирования. Теоретическое обоснование.....................................................................................................................................................
3.7. Вычислительная схема алгоритма субоптимизации для задачи квадратичного программирования.
3.8. Некоторые особенности вычислительной схемы метода субоптимизации на многообразиях для задачи квадратичного программирования........................................................................................................
4. Задача квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений.
4.1 Постановка задачи............................................................................................................................
4.2 Некоторые свойства решения параметрической задачи квадратичного программирования.
4.3 Применение метода субоптимизации на многообразиях к решению параметрической задачи квадратичного программирования........................................................................................................................................
5.Экономическая часть........................................................................................................................
6.Библиография...........................................................................................................................................
7.Приложение 1..................................................................................................................65
8.ПРиложение 2..................................................................................................................67
9.рисунок 1...........................................................................................................................78
В настоящей работе рассматривается применение метода субоптимизации на многообразиях к решению задачи квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений.
Метод субоптимизации на многообразиях, предложенный У.Зангвиллом в 1968 году для решения задач выпуклого программирования представляет собой простую процедуру поиска оптимальной точки в задаче выпуклого программирования с ограничениями типа равенств. Метод использует подход, названный автором "выделением активных ограничений", сводящий исходную задачу выпуклого программирования к определенным образом строящейся последовательности вспомогательных задач выпуклого программирования.
В тех случаях, когда решение вспомогательных задач оказывается существенно проще решения исходной, или вообще очевидным, метод субоптимизации на многообразиях позволяет существенно снизить вычислительную трудоемкость процедуры решения исходной задачи, а также исследовать свойства решения общей задачи на основании общих свойств вспомогательных задач.
В работе показано, что, в случае задачи квадратичного программирования, решение вспомогательных задач сводится к разложению определенным образом выбираемого вектора по некоторому базису, что в свою очередь эквивалентно решению системы линейных уравнений. Таким образом решение исходной задачи оказывается эквивалентным решению конечного числа систем линейных уравнений.
Показано также, что в случае задачи выпуклого программирования решение общей задачи сводится к последовательному решению вспомогательных задач, при переходе между которыми в базисном множестве происходит замена только одного вектора.
В силу этого становится возможным создание рекуррентных формул, связывающих матрицы системы линейных уравнений соседних вспомогательных задач.
Таким образом вместо решения системы линейных уравнений на каждом шаге метода можно вычислять новое решение с помощью соответствующих рекуррентных соотношений, прибегая к непосредственному решению системы линейных уравнений только с целью коррекции накопившейся ошибки вычисления после значительного количества итераций.
В результате вычислительная трудоемкость процедуры оказывается в лучшем случае эквивалентной решению системы линейных уравнений с последующим конечным числом матричных преобразований типа умножения матрицы на вектор. В худшем случае задача оказывается эквивалентной решению конечного числа систем линейных уравнений.
Доказаны теоремы, составляющие теоретический фундамент алгоритма, приведено доказательство сходимости предложенной вычислительной процедуры.
Рассматривается применение указанного метода к решению параметрической задачи квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений, путем сведения указанной задачи к конечному числу задач квадратичного программирования без параметра.
В силу того, что решение параметрической задачи квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений оказывается кусочно-линейной функцией, исходная задача сводится к покрытию области допустимых значений параметра отрезками, на которых функция решения линейна по параметру с постоянными коэффициентами, зависящими только от значения функции в левой точке отрезка.
Показано, что такое разбиение состоит из конечного числа отрезков, и конечного числа точек переключения траектории решения.
Построение такого покрытия в худшем случае эквивалентно решению конечного числа задач квадратичного программирования без параметра в точках переключения траектории. Показаны подходы к построению процедуры перестройки решения в точках переключения траектории без необходимости полного решения задачи квадратичного программирования путем сведения ее к одной или нескольким итерациям метода субоптимизации на многообразиях.
Поставлена задача поиска оптимального вложения в задаче о портфеле ценных бумаг, являющаяся экономической интерпретацией параметрической задачи квадратичного программирования.
Составлена и отлажена программа на языке С++, функционирующая в среде операционных систем UNIX (AIX, Solaris) а также Microsoft Windows, реализующая описанные алгоритмы. Указанная программа применена к решению задачи о поиске оптимальных инвестиций в задаче о портфеле ценных бумаг, данные решения и текст программы приведен в приложениях.
Указаны возможные пути упрощения процедуры поиска решения задачи квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений путем отказа от решения задачи квадратичного программирования в точках переключения траектории.
Для решения задач выпуклого программирования с линейными ограничениями могут применяться различные методы решения. Для построения таких методов используется как правило подход, предполагающий задачу квадратичного программирования в известном смысле расширением задачи линейного программирования.
Результатом применения такого подхода является группа методов основанных на простроении аппроксимации исходной квадратичной задачи последовательностью задач линейного программирования, а также различные обобщения линейного симплекс-метода на случай выпуклой функции-критерия.
Рассматриваемый в данной работе метод субоптимизации на многообразиях представляет собой результат совсем иного подхода к решению задачи квадратичного программирования. Процедура метода субоптимизации строится для более общего класса задач выпуклого программирования, причем указывается класс задач, для которых этот метод оказывается достаточно эффективным.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
