1. Теорема "Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны или делят его углы пополам, то этот параллелограмм - ромб" имеет структуру А V В => C, где А - "диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны"; В - "(диагонали параллелограмма) делят его углы пополам"; С - "этот параллелограмм - ромб".
2. Теорема о средней линии трапеции имеет структуру: А => В & С, где А - "четырехугольник - трапеция"; В - "его средняя линия параллельна основаниям"; С - "(его средняя линия) равна полусумме оснований".
Часто в формулировках теорем используется выражение "необходимо и достаточно" (ПРИЗНАК). В логике это выражение соответствует эквиваленции, которая, как известно, представима в виде конъюнкции двух импликаций. Одна из этих импликаций выражает теорему, доказывающую НЕОБХОДИМОСТЬ признака, другая выражает теорему, доказывающую ДОСТАТОЧНОСТЬ признака. Например, признак перпендикулярности двух плоскостей:
"Для того чтобы две плоскости были перпендикулярны, НЕОБХОДИМО и ДОСТАТОЧНО, чтобы одна из них проходила через прямую, перпендикулярную к другой", может быть сформулирован и так: "Две плоскости перпендикулярны, ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой":
А <=> В или А => B & B =>A.
Для преобразования суждений важны следующие законы:
1) ??А <=> A закон двойного отрицания;
2) ?(A&B) <=> ?A V ?B законы де Моргана;
3) ?(AVB) <=> ?A & ?B
4) A => B <=> ?A V B замена импликации.
Для построения высказываний о всеобщности и о существовании вводятся операции связывания кванторами (или "навешивания кванторов").
Выражение "для всех Х" ("для любого Х") называется КВАНТОРОМ ВСЕОБЩНОСТИ и обозначается символом: ?Х.
Выражение "существует Х такое, что..." называется КВАНТОРОМ СУЩЕСТВОВАНИЯ и обозначается символом: ?Х.
Выражение "существует точно одно Х такое, что..." называется КВАНТОРОМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ и обозначается символом: ?! Х.
Пример: Высказывание (суждение) "Ты любишь потому, что ты любишь. Не существует причин, чтобы любить." (Экзюпери) можно записать в виде:
А => А. ??В.
где A - "ты любишь", В - "причины любви".
Исчисление предикатов расширяет язык исчисления высказываний так, что мир оказывается, состоящим из объектов, отношений и свойств.
Логику предикатов можно рассматривать как компоненту естественного языка, имеющую в соответствии со сложностью синтаксических правил иерархическую структуру, которую образуют предикаты первого порядка, второго и так далее. Для логики предикатов определено множество значений и на его основе определены слова как последовательности знаков. Функцией языка предикатов является задание слов двух типов:
1. Слова, задающие сущности изучаемого мира.
2. Слова, задающие атрибуты / свойства этих сущностей, а также их поведение и отношения.
Первый тип слов называется термами, второй - предикатами.
Некие сущности и переменные определяются упорядоченными последовательностями конечной длины из букв и символов, исключая зарезервированные. Константы и переменные определяют отдельные объекты рассматриваемого мира. Последовательность из n констант или переменных (1 n < ), заключенная в круглые скобки, следующие за символом функции, имя которой задано некоторой конечной последовательностью букв, называется функцией.
Например, функция f(x, y) принимает некоторые значения, которые определяются значениями констант и переменных (аргументов функции), содержащимися под знаком функции. Эти значения, так же как и аргументы, являются некоторыми сущностями рассматриваемого мира. Поэтому все они объединяются общим названием терм (константы, переменные, функции).
Атомарным предикатом (атомом) называется последовательность из n (1 n <) термов, заключенных в круглые скобки, следующие за предикатным символом, имя которого выражается конечной последовательностью букв. Предикат принимает одно из двух значений true или false в соответствии со значениями, входящих в него термов.
Предикат Нераспространенное простое предложение
Из атомов с помощью, выполняющих функции союзов, символов составляются логические формулы, соответствующие сложным предложениям. В логике предикатов используются два класса символов. Первый класс соответствует союзам и включает операции дизъюнкции, конъюнкции, отрицания, импликации и эквивалентности.
Символы первого класса позволяют определять новый составной предикат, используя уже определенные предикаты. Различие между символами первого класса лежит в правилах, в соответствии с которыми определяются значения истинности или ложности составного предиката в зависимости от истинности или ложности элементарных предикатов. Символы и , вообще говоря избыточны так, как:
но используются т.к. эквивалентен фразе «Если А, то В», а - «А и В эквивалентны».
В качестве символов второго класса используются и . Эти символы называются кванторами общности и существования, соответственно. Переменная, которая квантифицирована, т.е. к ней применен один из кванторов , называется связанной. Квантор общности является обобщением, аналогом конъюнкции, а квантор существования - обобщением, аналогом дизъюнкции на произвольное, не обязательно конечное множество.
Действительно, пусть Тогда для любого предиката U выполняется:
Аналогом законов Де Моргана для кванторов являются:
Таким образом, чтобы найти отрицание выражения, начинающегося с кванторов, надо каждый квантор заменить на его двойственный и перенести знак отрицания за кванторы. Отсюда:
Функция, двойственная к данной, есть функция, в которой взяты отрицания от всех операций и от всех операндов, и обозначается .
Пример:
.
Общезначимое равенство между функциями влечёт общезначимое равенство между двойственными функциями. Из этого следует, что принцип двойственности вдвое сокращает время доказательства теорем: вместе с каждой теоремой мы автоматически доказываем двойственную ей.
В связи с информацией двух предыдущих подразделов, антонимов в математическом тексте гораздо меньше, чем в художественном тексте и их основная функция - это построение отрицания. Причем выражение отрицания проявляется не только на уровне слов, но и на уровне предложений и даже целых абзацев. Например, антонимы на уровне слов: рациональный - иррациональный, алгебраический - трансцендентный, и т.д. Антонимы, на уровне предложений: Функция f(x), определенная на множествеE, называется ограниченной, если существует число M, что для любого x из E справедливо . - Функция f(x), определенная на множествеE, называется неограниченной, если для любого положительного числа M, существует x из E такой, что . Антонимы на уровне абзацев обычно представляют собой прямую и противоположную теоремы. Прямая и противоположная теоремы, хоть и являются антонимичными, но они абсолютно равносильны между собой, поэтому в данном случае, исходя из смысла теорем, имеет смысл говорить о синонимии антонимов.
При анализе словарей [44-53] были произведены следующие выводы:
1. В английском и русском языках присутствует больше всего антонимов образованных с помощью частицы “не” (“non”) для прилагательных и существительных, для глаголов частицы “не” и “not”.
2. Больше всего антонимов наблюдается среди прилагательных (в русском и английском языках) и существительных, выступающих в роли определения (в английском языке).
3. Антонимичные пары глаголов одинаковы для всех рассмотренных отраслей математики. Наиболее часто из них употребляются является-не является, принадлежит - не принадлежит, входит - не входит, существует - не существует. Особенностью пары принадлежит - не принадлежит, является тот факт, что она представлена не в виде слов, а специальными математическими знаками ( соответственно).
4. Наиболее часто встречающаяся антонимичная пара прилагательных: любой - единственный специфична только для математических текстов. В художественных текстах и речи антонимом любой является никакой. Пара любой - единственный всегда представлена неявно и обозначается с помощью кванторов всеобщности () и существования ().
В математическом тексте присутствуют как градуальные (отрицательный - неположительный - неотрицательный - положительный), так и бинарные антонимы (непрерывный - разрывный, константа - переменная).
В математическом тексте сильно проявлены контекстуальные антонимы. Разберем на примерах. Антоним простой (когда речь идет о натуральных числах) - составной, но антонимами пара простой-составной может являться только, когда речь идет о натуральных числах больше 1, в противном случае антонимом к простому является составной или 1 т.е. сразу два случая и только в процессе исследования выясняется, какой случай подходит. Приведем еще один пример. Когда речь идет о евклидовой плоскости, то две различные прямые могут быть либо параллельными, либо пересекающимися. В проективной плоскости понятия параллельной прямой нет, и так как любые две прямые пересекаются, то и нет смысла употреблять слово пересекающиеся. В случае если не известно являются ли прямые различными, то возникает еще один случай - совпадающиеся прямые.
Еще одной особенностью антонимов в математическом тексте, является синонимия антонимов. Например, возьмем две пары антонимов: открытый - неоткрытый, замкнутый - незамкнутый. Слова незамкнутый и неоткрытый по своему значению обозначают одно и тоже, поэтому являются синонимами. И получается следующая шкала: открытый - неоткрытый (незамкнутый) - замкнутый. А пару неоткрытый - незамкнутый можно рассматривать как конверсив.
Следующей особенность антонимии является тот факт, что в математических текстах распространен эффект, подобный антонимам многозначных слов, но имеющий совсем другую структуру. Например, антонимами компактный выступают неограниченный и незамкнутый. Компактный означает замкнутый и ограниченный. Если множество незамкнутое или неограниченное, то оно не является компактом. В этом проявляется отличие от многозначных слов: слово выражает все свои значения одновременно. Аналогично слову компактный, следующие слова так же имеют несколько антонимов: устойчивое, липшицева, изоморфный, гомеоморфный, эквивалентность и др.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
