Чтобы решать оптимизационные задачи с помощью мате­матических методов, нужно сформулировать на математическом языке рассматриваемые процессы, ограничения, накладываемые на состояние системы и управляющие воздействия, а так же записать математические модели, описывающие эти процессы.

Введем некоторые понятия и обозначения. Рассмотрим множество М с эле­ментами v, где v - пары вида v=(x, у), , ,  - некоторые заданные множества. Проек­цией  множества М на множество Х назовем подмножество Мx, обладающее тем свойством, что для каждого  существу­ет такой элемент , что пара  содержится в мно­жестве М.

Введем понятие сечения Мx множества М при данном x. Сечением Мx будем называть множество всех y, при которых пара  принадлежит множеству М.

Введем понятие функционала, являющегося одним из главных в задачах оптимального управления. Будем говорить, что на мно­жестве М задан функционал F , если известно правило, которое каждому элементу ставит в соответствие определенное действительное число F(v).

В общем виде задача оптимизации формулируется как задача отыскания минимального (или максимального) значения функ­ционала F(v) на множестве М.

Предположим, что требуется минимизировать функционал F(v) на множестве М. Если решение этой задачи существует (обозначим его через ), то называется опти­мальным элементом множества M, а величина  - оптимальным значением функционала. Решения поставленной задачи F и  будем записывать следующим образом:

.

Аналогично формулируется задача о нахождении максималь­ного значения функционала.

Введем понятия точной нижней и верхней границы функцио­нала. Точной нижней границей функционала на множестве М назовем такое число т, если:

1)  для любого ;

2) существует последовательность , на которой .

Точная нижняя граница функционала обозначается

.

Последовательность {vs} называется минимизирующей последовате­ль­ностью.

Точно так же определяется точная верхняя граница n функ­ционала :

Назовем функционал  ограниченным снизу (сверху) на множестве М, если существует такое число A, что при всех   (). Если функционал является ограниченным снизу (сверху), то решение задачи о нахождении его точной нижней (верхней) границы существует, т. е. имеет место следую­щая теорема (приведем без доказательства): Пусть на множестве М задан ограниченный снизу функционал . Тогда реализуется одна из двух возможностей:

1) Существуют элемент  и число , при которых  и  при всех .

2) Существуют последовательность  элементов множе­ства М и число , удовлетворяющее условиям ,   и  при всех .

Данная теорема имеет важное значение для понимания сущности задачи оптимизации по двум причинам. Во-первых, она говорит о том, что постановка задачи об отыскании наименьшего (наибольшего) значения ограниченного снизу (сверху) функционала имеет смысл. Во-вторых, она объясняет природу решения такой задачи. А именно: решением будет либо определенный элемент  множества М, минимизирующий (максимизирующий) функци­онал , либо последовательность  элементов множества М, являющаяся миними­зи­рующей (максимизирующей) последо­вательностью. В первом случае можно говорить о точном решении задачи, а во втором - о приближенном.

Задачи оптимизации управляемых процессов (оптимального управления) являются частными по отношению к сформулированной выше общей задаче оптимизации. Рассмотрим постанову задач оптимального управления.

Введем некоторые понятия.

Важнейшими из них являются понятия состояния системы и управления. Будем рассматривать системы, состояние которых может быть в любой момент времени определено вектором х n-мерного пространства с координатами . Пространст­во Х будем называть пространством состояний системы.

Так как система изменяется во времени, то ее поведение можно описать последовательностью состояний. Такую последовательность системы  называют ее траекторией.

Переменная t (называется аргу­ментом процесса) может быть некоторым отрезком числовой прямой () или отрезком натурального ряда (). В первом случае процесс, происходящий в системе, называется непрерывным, во втором случае - многошаговым, а системы - соот­ветственно непрерывными и дискретными.

Изменение состояния системы, т. е. процесс в ней, может происходить в результате управляющих воздействий. Будем рассматривать системы, управляющие воздействия в которых моделируются с помощью элементов r-мерного про­странства U:

, .

Управляющие воздействия могут задаваться в виде функций от t, т.е. .

На допустимые состояния системы  и управ­ления  могут быть наложены ограничения. Рассмотрим множество троек  - совокупность  - мерных векто­ров в пространстве . Тогда ограничения на состояние системы и управление в самом общем случае могут быть записаны в виде

,

где  - некоторая область (подмножество) рассматривае­мого  - мерного пространства. Ограничения на величины ,  в каждый фиксированный момент времени t могут быть заданы и в виде

,

где Vt  -  сечение множества V при заданном значении t.

Пару функций  назовем процессом. Между функ­циями  имеется связь: как только задано управление  системой, последовательность ее состояний (траектория системы)  определяется однозначно. Связь между  и  моделируется по-разному в зависимости от того, является система непрерывной или дискретной.

Для непрерывных систем модели процессов задаются системой дифференциальных уравнений вида

 ,

 или в векторной форме

.                                    (4.2.1)

Пусть задано состояние, в котором система находилась в начальный момент . Для простоты этот момент примем равным нулю, а момент окончания процесса - равным Т. Тогда аргумент процесса t изменяется в пределах , а начальным состоянием системы будет вектор

,     (4.2.2)

где  - начальное значение i-й координаты вектора со­стояния системы.

Проанализируем, каким образом модель отражает связь между управлениями и состоянием системы, изменяющимся под их воздействием. Пусть на промежутке  задано управление . Подставляя его в правую часть системы (4.2.3), получим

                                 (4.2.3)

Имеем систему дифференциальных уравнений относительно неиз­вестной функции . Решая ее с учетом начальных условий (4.2.2), получим . Это решение и есть траектория, отвечающая заданному управлению .

Модель дискретной управляемой системы имеет вид системы рекуррентных уравнений:

, .

В векторной форме эту модель можно записать в виде

 ,       (4.2.4)

Здесь t принимает значение . Начальное зна­чение  будем считать известным.

В дискретной системе, как и в непрерывной, задание управляющих воздействий  при  позволяет однозначно определить отвечающую им траекторию системы. При подстановке значения u(t) в правую часть (4.2.4) получаем систему уравнений, которая позволяет при известном значении состояния  в момент времени t определить состояние  в следующий момент времени. Так как в начальный момент  состояние  известно, то, подставив его в правую часть (4.2.4), получим

.

Подставляя затем найденное значение  и  в (4.2.4), так же найдем значение . Продолжая этот процесс, через Т шагов получим последнее искомое значение .

Таким образом, и в дискретном случае уравнения модели (4.2.4) позволяют однозначно определить траекторию системы , если задано управление .

Следовательно, процесс  должен удовлетворять следующим ограничениям:

1) при всех ;

2) Пара удовлетворяет системе уравнений процесса:

а) системе (4.2.1) в непрерывном случае при ;

б) системе (4.2.4) в дискретном случае при ;

3) Заданы начальные условия (4.2.2);

4) В непрерывном случае на функции ,  накла­дываются некоторые дополнительные ограничения, связанные с применимостью употребляемых здесь математических записей. Функцию  будем считать кусочно-непрерывной, а век­тор-функцию  - непрерывной и кусочно-дифференцируемой.

Процессы , удовлетворяющие условиям 1) – 4), будем называть допустимыми. Таким образом, допустимый процесс - это управляющие воздействия  и соответствующая им траектория системы , удовлетворяющие перечисленным ограничениям.

Для постановки оптимизационной задачи необходимо ввести в рассмотрение функционал F, задан­ный на множестве М. Задача оптимального управления будет состоять в выборе элемента  множества M, на котором функционал F достигает минимального значения. Такой процесс называют оптимальным процессом, управление  - оптимальным управлением, а траекторию  оптималь­ной траекторией.

Функционал  F, заданный на множестве допустимых процессов, описывает цель, согласно которой оптимизируется процесс.

В задачах оптимального управления для непрерывных систем будем рассматривать функционалы следующего вида:

,                 (4.2.5)

где ;  - задан­ные функции. Выражение (4.2.5) позволяет вычислить для каждого допустимого процесса  определенное значение и тем самым задать функционал на множестве допустимых процессов. Для этого необходимо подставить x(t), вместо аргументов функции , которая становится функцией времени, после чего вычислить ее интеграл. Затем к значению интеграла прибавляем значение функции  при .

Функционал  состоит из двух частей:  и . Первое из этих слагаемых оценивает качество процесса на  на всем промежутке , второе слагаемое - качество конечного состояния системы. Иногда в за­дачах оптимального управления конечное состояние системы  задается. В этом случае второе слагаемое функционала (4.2.5) есть величина постоянная и, следовательно, не влияет на его минимизацию. Такие задачи называются задачами с фик­сированным правым концом траектории.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17