Под доверительной вероятностью понимается вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а доверительная вероятность – достоверность измерения.
В подавляющем большинстве экспериментальных задач доверительная вероятность составляет 0.90.95 и более высокая надежность не требуется. Так при t = 1 согласно формулам (2.10 –2.12) 1 – = Ф(t) = 0.683, т. е. более 68 % измерений находится в интервале (–,+). При t = 2 1 – = 0.955, а при t = 3 параметр 1 – = 0.997. Последнее означает, что в интервале (–,+) находятся почти все измеренные значения. Из данного примера видно, что интервал действительно содержит большинство измеренных значений, т. е. параметр может служить хорошей характеристикой точности измерений.
До сих пор предполагалось, что число измерений хотя и конечно, но достаточно велико. В действительности же число измерений почти всегда бывает небольшим. Более того, как в технике, так и в научных исследованиях нередко используют результаты двух-трех измерений. В этой ситуации величины и в лучшем случае могут определить лишь порядок величины дисперсии. Существует корректный метод для определения вероятности нахождения искомого значения в заданном доверительном интервале, основанный на использовании распределения Стьюдента (предложенного в 1908 г. английским математиком В.С. Госсетом). Обозначим через интервал, на который может отклоняться среднее арифметическое значение от истинного значения х0, т. е. x = х0 –. Иными словами, мы хотим определить значение
.
Тогда
, (2.13)
где Sn определяется формулой (2.8). Эта величина подчиняется распределению Стьюдента. Распределение Стьюдента характерно тем, что не зависит от параметров х0 и нормальной генеральной совокупности и позволяет при небольшом числе измерений (n < 20) оценить погрешность x = – хi по заданной доверительной вероятности или по заданному значению x найти надежность измерений. Это распределение зависит только от переменной t и числа степеней свободы l = n – 1. Распределение Стьюдента справедливо при n2 и симметрично относительно t = 0 (см. рис. 3). С ростом числа измерений t-распределение стремится к нормальному распределению (фактически при n > 20).
Доверительную вероятность при заданной погрешности результата измерений получают из выражения
p(–< х0 <+) = 1 – . (2.14)
При этом величина t аналогична коэффициенту t в формуле (2.11). Величину t называют коэффициентом Стьюдента, его значения приводятся в справочных таблицах. Используя соотношения (2.14) и справочные данные можно решить и обратную задачу: по заданной надежности определить допустимую погрешность результата измерений.
Распределение Стьюдента позволяет также установить, что с вероятностью, как угодно близкой к достоверности, при достаточно большом n среднее арифметическое значение будет как угодно мало отличаться от истинного значения х0.
Предполагалось, что закон распределения случайной погрешности известен. Однако часто при решении практических задач не обязательно знания закона распределения, достаточно лишь изучить некоторые числовые характеристики случайной величины, например среднее значение и дисперсию. При этом вычисление дисперсии позволяет оценить доверительную вероятность даже в случае, когда закон распределения погрешности неизвестен или отличается от нормального.
В случае, если проведено всего одно измерение, точность измерения физической величины (если оно проведено тщательно) характеризуется точностью измерительного прибора.
Часто при проведении эксперимента встречается ситуация, когда искомые величины и(хi) непосредственно определить невозможно, однако можно измерить величины хi. Например, для измерения плотности чаще всего измеряют массу m и объем V, а значение плотности рассчитывают по формуле = m/V. Величины хi содержат, как обычно, случайные погрешности, т. е. наблюдают величины xi' = xixi. Как и ранее, считаем, что xi распределены по нормальному закону.
1. Пусть и = f(х) является функцией одной переменной. В этом случае абсолютная погрешность
. (3.1)
Относительная погрешность результата косвенных измерений
. (3.2)
2. Пусть и = f(х, у) является функцией двух переменных. Тогда абсолютная погрешность
, (3.3)
а относительная погрешность составит
. (3.4)
3. Пусть и = f(х, у, z, …) является функцией нескольких переменных. Тогда абсолютная погрешность по аналогии
(3.5)
и относительная погрешность
, (3.6)
где , и определяются согласно формуле (2.9).
В таблице 2 приводятся формулы для определения погрешностей косвенных измерений для некоторых часто встречающихся формул.
Таблица 2
Функция u
Абсолютная погрешность u
Относительная погрешность u
ex
ln x
sin x
cos x
tg x
ctg x
xy
x/y
Все приведенные выше доверительные оценки как средних значений, так и дисперсий основаны на гипотезе нормальности закона распределения случайных ошибок измерения и поэтому могут применяться лишь до тех пор, пока результаты эксперимента не противоречат этой гипотезе.
Если результаты эксперимента вызывают сомнение в нормальности закона распределения, то для решения вопроса о пригодности или непригодности нормального закона распределения нужно произвести достаточно большое число измерений и применить одну из описанных ниже методик.
Проверка по среднему абсолютному отклонению (САО). Методика может использоваться для не очень больших выборок (n < 120). Для этого вычисляется САО по формуле:
. (4.1)
Для выборки, имеющий приближенно нормальный закон распределения, должно быть справедливо выражение
. (4.2)
Если данное неравенство (4.2) выполняется, то гипотеза нормальности распределения подтверждается.
Проверка по критерию соответствия 2 ("хи-квадрат") или критерию согласия Пирсона. Критерий основан на сравнении эмпирических частот с теоретическими, которые можно ожидать при принятии гипотезы о нормальности распределения. Результаты измерений после исключения грубых и систематических ошибок группируют по интервалам таким образом, чтобы эти интервалы покрывали всю ось и чтобы количество данных в каждом интервале было достаточно большим (не менее пяти). Для каждого интервала (хi –1, хi) подсчитывают число тi результатов измерения, попавших в этот интервал. Затем вычисляют вероятность попадания в этот интервал при нормальном законе распределения вероятностей рi:
, (4.3)
Далее вычисляют сумму
, (4.4)
где l – число всех интервалов, n – число всех результатов измерений (n = т1 + т2 +…+ тl).
Если сумма, рассчитанная по данной формуле (4.4) окажется больше критического табличного значения 2, определяемого при некоторой доверительной вероятности р и числе степеней свободы k = l – 3, то с надежностью р можно считать, что распределение вероятностей случайных ошибок в рассматриваемой серии измерений отличается от нормального. В противном случае для такого вывода нет достаточных оснований.
Проверка по показателям асимметрии и эксцесса. Данный метод дает приближенную оценку. Показатели асимметрии А и эксцесса Е определяются по следующим формулам:
, (4.5)
. (4.6)
Если распределение нормально, то оба эти показателя должны быть малы. О малости этих характеристик обычно судят по сравнению с их средними квадратическими ошибками. Коэффициенты сравнения рассчитываются соответственно:
, (4.7)
. (4.8)
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
