Во всех практических случаях значение х0 неизвестно и есть лишь определенная вероятность того, что х0 находится в каком-то интервале вблизи и требуется определить этот интервал, соответствующий этой вероятности. В качестве оценки абсолютной погрешности отдельного измерения используют
xi = – xi.
Она определяет точность данного измерения.
Для ряда измерений определяют среднюю арифметическую погрешность
.
Она определяет пределы, в которых лежит более половины измерений. Следовательно, х0 с достаточно большой вероятностью попадает в интервал от – до +. Результаты измерений величины х записывают тогда в виде:
Величина х измерена тем точнее, чем меньше интервал, в котором находится истинное значение х0.
Абсолютная погрешность результатов измерений x сама по себе еще не определяет точности измерений. Пусть, например, точность некоторого амперметра составляет 0.1а. Были проведены измерения силы тока в двух электрических цепях. При этом получили следующие значения: 320.1а и 0.20.1а. Из примера видно, что, хотя абсолютная погрешность измерений одинакова, точность измерений различна. В первом случае измерения достаточно точны, а во втором – позволяют судить лишь о порядке величины. Следовательно, при оценке качества измерения необходимо сравнивать погрешность с измеренным значением, что дает более наглядное представление о точности измерений. Для этого вводится понятие относительной погрешности
x = x /. (2.3)
Относительную погрешность обычно выражают в процентах.
Так как в большинстве случаев измеряемые величины имеют размерность, то и абсолютные погрешности размерны, а относительные ошибки безразмерны. Поэтому с помощью последних можно производить сравнение точности измерений разнородных величин. Наконец, эксперимент должен быть поставлен таким образом, чтобы относительная погрешность оставалась постоянной во всем диапазоне измерений.
Следует отметить, что при правильных и тщательно выполненных измерениях средняя арифметическая погрешность их результата близка к погрешности измеряемого прибора.
Если измерения искомой величины х проведены много раз, то частоты появления того или иного значения хi можно представить в виде графика, имеющего вид ступенчатой кривой – гистограммы (см. рис. 1), где у – число отсчетов; xi = хi – xi+1 (i изменяется от –n до +n). С увеличением числа измерений и уменьшением интервала xi гистограмма переходит в непрерывную кривую, характеризующую плотность распределения вероятности того, что величина xi окажется в интервале xi.
Под распределением случайной величины понимают совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей. Законом распределения случайной величины называют всякое соответствие случайной величины возможным значениям их вероятностей. Наиболее общей формой закона распределения является функция распределения Р(х). Тогда функция р(х) = Р' (х) – плотность распределения вероятности или дифференциальная функция распределения. График плотности распределения вероятностей называется кривой распределения.
Функция р(х) характерна тем, что произведение р(х)dx есть вероятность оказаться отдельному, случайно выбранному значению измеряемой величины в интервале (х, x + dx). В общем случае эта вероятность может определяться различными законами распределений (нормальный (Гаусса), Пуассона, Бернулли, биномиальный, отрицательный биномиальный, геометрический, гипергеометрический, равномерный дискретный, отрицательный экспоненциальный).
Однако чаще всего вероятность появления величины xi в интервале (х, x + dx) в физических экспериментах описывают нормальным законом распределения – законом Гаусса (см. рис. 2):
, (2.4)
где 2 - дисперсия генеральной совокупности. Генеральной совокупностью называют все множество возможных значений измерений xi или возможных значений погрешностей xi.
Широкое использование закона Гаусса в теории ошибок объясняется следующими причинами:
1) равные по абсолютному значению погрешности встречаются одинаково часто при большом числе измерений;
2) малые по абсолютному значению погрешности встречаются чаще, чем большие, т. е. вероятность появления погрешности тем меньше, чем больше ее абсолютное значение;
3) погрешности измерений принимают непрерывный ряд значений.
Однако, эти условия никогда строго не выполняются. Но эксперименты подтвердили, что в области, где погрешности не очень велики, нормальный закон распределения хорошо согласуется с опытными данными. С помощью нормального закона можно найти вероятность появления погрешности того или иного значения.
Распределение Гаусса характеризуется двумя параметрами: средним значением случайной величины и дисперсией 2. Среднее значение определяется абсциссой (х =) оси симметрии кривой распределения, а дисперсия показывает, как быстро уменьшается вероятность появления погрешности с увеличением ее абсолютного значения. Кривая имеет максимум при х =. Следовательно, среднее значение является наиболее вероятным значением величины х. Дисперсия определяется полушириной кривой распределения, т. е. расстоянием от оси симметрии до точек перегиба кривой. Она является средним квадратом отклонения результатов отдельных измерений от их среднего арифметического значения по всему распределению. Если при измерении физической величины получают только постоянные значения х =, то 2 = 0. Но если значения случайной величины х принимают значения, не равные , то ее дисперсия не равна нулю и положительна. Дисперсия, таким образом, служит мерой флуктуации значений случайной величины.
Мера рассеяния результатов отдельных измерений от среднего значения должна выражаться в тех же единицах, что и значения измеряемой величины. В связи с этим в качестве показателя флуктуации результатов измерений гораздо чаще используют величину
,
называемую средней квадратичной погрешностью. Она является важнейшей характеристикой результатов измерений и остается постоянной при неизменности условий эксперимента. Значение этой величины определяет форму кривой распределения. Так как при изменении площадь под кривой, оставаясь постоянной (равной единице), меняет свою форму, то с уменьшением кривая распределения вытягивается вверх вблизи максимума при х =, и сжимаясь в горизонтальном направлении. С увеличением значение функции р(хi) уменьшается, и кривая распределения растягивается вдоль оси х (см. рис. 2).
Для нормального закона распределения средняя квадратическая погрешность отдельного измерения
, (2.5)
а средняя квадратическая погрешность среднего значения
. (2.6)
Средняя квадратическая погрешность более точно характеризует погрешности измерений, чем средняя арифметическая погрешность, так как она получена достаточно строго из закона распределения случайных величин погрешностей. Кроме того, непосредственная связь ее с дисперсией, вычисление которой облегчается рядом теорем, делает среднюю квадратическую погрешность очень удобным параметром.
Наряду с размерной погрешностью используют и безразмерную относительную погрешность =/, которая, как и x, выражается либо в долях единицы, либо в процентах. Окончательный результат измерений записывают в виде:
, . (2.7)
Однако, на практике невозможно провести слишком много измерений, поэтому нельзя построить нормальное распределение, чтобы точно определить истинное значение х0. В этом случае хорошим приближением к истинному значению можно считать , а достаточно точной оценкой ошибки измерений – выборочную дисперсию , вытекающую из нормального закона распределения, но относящуюся к конечному числу измерений. Такое название величины объясняется тем, что из всего множества значений хi, т. е. генеральной совокупности выбирают (измеряют) лишь конечное число значений величины хi (равное n), называемых выборкой. Выборка характеризуется уже выборочным средним значением и выборочной дисперсией.
Тогда выборочная средняя квадратическая погрешность отдельного измерения (или эмпирический стандарт)
, (2.8)
а выборочная средняя квадратическая погрешность ряда измерений
. (2.9)
Из выражения (2.9) видно, что, увеличивая число измерений, можно сделать сколь угодно малой среднюю квадратическую погрешность . При n > 10 заметное изменение величины достигается лишь при весьма значительном числе измерений, поэтому дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно. К тому же, невозможно полностью исключить систематические погрешности, и при , меньшей систематической ошибки дальнейшее увеличение числа опытов также не имеет смысла.
Таким образом, задача нахождения приближенного значения физической величины и его погрешности решена. Теперь необходимо определить надежность найденного действительного значения. Под надежностью измерений понимают вероятность попадания истинного значения в данный доверительный интервал. Интервал (– ,+ ), в котором находится с заданной вероятностью истинное значение х0, называют доверительным интервалом.
Допустим, что вероятность отличия результата измерений х от истинного значения х0 на величину, большую, чем , равна 1 – , т. е.
p(– < х0 <+ ) = 1 – . (2.10)
В теории ошибок обычно под понимают величину . Поэтому
p(– < х0 <+ ) = Ф(t), (2.11)
где Ф(t) – интеграл вероятности (или функция Лапласа), а также нормальная функция распределения:
, (2.12)
где .
Таким образом, чтобы охарактеризовать истинное значение, требуется знать как погрешность, так и надежность. Если доверительный интервал увеличивается, то возрастает надежность того, что истинное значение х0 попадает в данный интервал. Высокая степень надежности необходима при ответственных измерениях. Это означает, что в таком случае нужно выбирать большой доверительный интервал или вести измерения с большей точностью (т. е. уменьшить величину ), что можно сделать, например, многократным повторением измерений.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
