|
|
124953,04 |
|
|
3000 |
154281,66 |
|
|
4000 |
179177,07 |
|
|
5000 |
201222,08 |
|
|
6000 |
221232,99 |
|
|
7000 |
239696,79 |
|
|
8000 |
256931,9 |
|
|
9000 |
273160,15 |
|
|
10000 |
288543,46 |
|
|
11000 |
303204,36 |
|
|
12000 |
317238,21 |
|
|
13000 |
330721,01 |
|
|
14000 |
343714,47 |
|
|
15000 |
356269,54 |
|
|
16000 |
368428,85 |
|
|
17000 |
380228,51 |
|
|
18000 |
391699,43 |
|
|
19000 |
402868,32 |
|
|
20000 |
413758,41 |
По значению Y0 находим графическим путем величину L0. Графическое значение L0 = 3775,08. Сравнивая его со значением L0, полученным аналитически, делаем вывод, что они совпадают.
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ
2.1. Постановка задачи
В данной работе необходимо определить в простой кейнсианской модели формирования доходов параметры уравнения функции потребления. Исходная система уравнений имеет вид:
Ct = a + b*Yt + ut ; (2.1)
Yt = Ct + It, (2.2)
где t – индекс, указывающий на то, что уравнения (2.1), (2.2) являются системой одновременных уравнений для моментов времени t1-tn;
ut – случайная составляющая;
Ct, Yt – функции потребления и дохода, соответственно являющиеся эндогенными переменными;
It – экзогенно заданная функция, отражающая инвестиционный спрос.
Переменные Ct и Yt являются эндогенными. Эндогенной считается та переменная, значение которой определяется внутри уравнения регрессии, внутри модели. В качестве экзогенной переменной в данной задаче выступают инвестиции It. Экзогенной является та переменная, значение которой определяется вне уравнения регрессии, вне модели и поэтому берется как заданная.
Параметры уравнения регрессии необходимо определить двумя способами:
· косвенным методом наименьших квадратов;
· прямым методом наименьших квадратов.
2.2. Определение параметров уравнения регрессии с
использованием КМНК
Исходные значения величин Ct и It представлены в таблице 5:
Таблица 5
|
t |
Ct |
It |
|
1 |
220063 |
85000 |
|
2 |
231828 |
78115 |
|
3 |
207359 |
71230 |
|
4 |
218337 |
64345 |
|
5 |
207851 |
57460 |
|
6 |
202994 |
50575 |
|
7 |
195524 |
43690 |
|
8 |
203944 |
36805 |
|
9 |
201672 |
29920 |
|
10 |
186648 |
23035 |
|
11 |
187864 |
16150 |
|
12 |
185659 |
9265 |
|
13 |
193932 |
2380 |
|
14 |
187232 |
85 |
Методом наименьших квадратов (МНК) из уравнения (2.1) найти параметры a и b невозможно, так как оценки будут смещёнными. В связи с этим необходимо использовать косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).
Для этого эндогенные переменные Ct, Yt выражаем через экзогенную переменную It. С этой целью подставляем выражение (2.1) в (2.2):
Yt = a+b*Yt + ut +It, (2.3)
отсюда получаем:
(2.4)
Подставляем выражение (2.4) в уравнение (2.1) и получаем:
(2.5)
Данное уравнение не содержит в правой части эндогенных переменных, а имеет только экзогенную переменную в виде It (инвестиций). Экзогенная переменная не коррелирует со случайной составляющей ut и, следовательно, параметры этого уравнения могут быть найдены с помощью МНК.
Представим это уравнение в следующем виде:
(2.6)
где
(2.7)
Используя имеющиеся в таблице 5 данные о величинах Ct и It, находим с помощью МНК несмещенные оценки a* и b* из уравнения:
Ct = a1+b1It , (2.8)
где a1 - несмещенная оценка a*;
b1- несмещенная оценка b*.
Для этих целей применяем имеющийся в табличном редакторе Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активизация этого метода производится командами: «Сервис» – «Анализ данных» – «Регрессия».
a1
b1
184280,63
0,44
После определения значений a1 и b1 необходимо определить несмещенные оценки величин a и b, использовав соотношения:
, (2.9)
где a", b" – соответственно несмещенные оценки a, b.
Сами значения величин a", b" определяем по формулам:
(2.10)
a"
b"
127811,09
0,31
Использовав найденные значения a" и b", записываем уравнение функции потребления (2.1):
C(t)= 127811,09 + 0,31*Yt+ut.
Сравниваем найденные по формуле (2.10) значения a" и b" с величинами a и b, заданными в таблице 1 (aтабл. = 127500, bтабл. = 0,31) и рассчитываем проценты несовпадения данных величин по формулам:
(2.11)
,
.
2.3. Определение параметров уравнения регрессии с использованием МНК
Для определения параметров уравнения регрессии с помощью прямого МНК, необходимо определить по формуле (2.2)значения величин Yt (для t в пределах от t1 до t14), используя значения Ct и It из таблицы 5. Полученные значения заносим в таблицу 6.
Таблица 6
t
Yt
1
305063
2
309943
3
278589
4
282682
5
265311
6
253569
7
239214
8
240749
9
231592
10
209683
11
204014
12
194924
13
196312
14
187317
Приняв в качестве исходных данных имеющиеся значения Ct и Yt, определяем с помощью МНК смещённые оценки aсм и bсм величин a и b, используя уравнение (2.1). Для этого используем имеющийся в табличном редакторе Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активация этого метода осуществляется командами: «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».
В рассматриваемой задаче:
aсм
bсм
123638,32
0,32
Далее сравниваем полученные значения aсм и bсм с табличными значениями a и b, и находим проценты несовпадения данных величин по формулам:
(2.12)
,
.
2.4. Экономический анализ полученных результатов
Сравнивая значения процентов несовпадения параметров модели, полученных в случае определения уравнения регрессии с помощью КМНК (для a – 0,24%, для b –1,15%) и с помощью МНК (для a –3,03%, для b –4,39%), видно, что в первом случае проценты несовпадения значительно меньше, чем во втором. Это говорит о том, что при использовании КМНК полученное уравнение регрессии более точное, чем уравнение регрессии, полученное с помощью МНК.
Оценка достоверности зависимости Ct от a и b производится по величине R2 (коэффициент множественной детерминации). Полученное в первом случае значение R2 = 0,79 меньше значения R2 = 0,90, полученного во втором случае. Но оба эти значения близки к единице и подтверждают достоверность наличия зависимости. Во втором случае достоверность зависимости выше.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза Но, что коэффициент регрессии b равен нулю. В данной задаче значимость F при нахождении уравнения регрессии методом КМНК равна 2,33E-05, а при нахождении уравнения регрессии методом МНК она равна 2,35E-07. Оба значения близки к нулю, т.е. такова вероятность принятия нулевой гипотезы. Следовательно, в обоих случаях нулевую гипотезу можно отвергнуть, особенно для уравнения регрессии, найденного с помощью МНК.
Оценка достоверности и статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии производится по t-критерию Стьюдента. В обоих случаях значение t - критерия Стьюдента превышает его табличное значение, что говорит о достоверности коэффициентов уравнений регрессий.
Заключение
В данной работе была рассмотрена кейнсианская модель в которой предполагается, что существует три вида активов: деньги, облигации, физический капитал.
Были произведены расчеты различных показателей, построение графиков и нахождение графических значений этих показателей и было произведено сравнение графических значений показателей с расчетными. В результате получили, что графические и расчетные показатели практически совпадают.
В данной работе было также произведено определение параметров уравнения регрессии двумя способами:
· косвенным методом наименьших квадратов;
· прямым методом наименьших квадратов.
Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод о том, что при определении параметров модели с помощью косвенного МНК полученное уравнение регрессии более точное, чем уравнение регрессии, полученное с помощью прямого МНК, и коэффициенты уравнения регрессии являются наиболее достоверными и статистически значимыми.
Список использованной литературы
1. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе.
2. Колемаев В.А. Математическая экономика: учебник для вузов. - М: ЮНИТИ, 1998. - 240 с.
3. Курицкий, Поиск оптимальных решений в EXCEL – М., 2000, 245 с.
4. Пучков В.Ф. Математические модели макроэкономики: учебное пособие. –Гатчина: Издательство ЛОИЭФ, 2005. – 157 с.
5. Экономико-математические методы и прикладные модели: Уч. пособие / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.