R²=  ∑(y-y)²

Коэффициент детерминации- квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F-mecm-оценивание качества уровнения регрессии- состоит в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии  и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического

Fфакт  и критического (табличного) Fтабл   значений F критерия Фишера. Fфакт-

определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсией, рассчитанных на одну степень свободы:

                 ∑(ỹx-y)²/m                      r²xy

Fфакт=                                                =                        (n-2)

                          ∑(y-ỹ)² /(n-m-1)           1-r²xy   

n- число едениц совокупности;

m- число параметров при переменных х.

Fтабл- это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а

Уровень значимости а вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимается равной 0,05 или 0,01.

                   Если Fтабл< Fфакт то Но – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл> Fфакт , то гипотеза Но не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

УСЛОВИЕ

По пяти городам известны значения 2х признаков:                                  табл.№1

Требуется:

1) для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций (линейной, степенной, показательной, равносторонней гиперболы).

2) оценить каждую модель через среднюю  ошибку аппроксимации А и F- критерии Фишера.

ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ

                 Для расчета параметров а и b линейной регрессии у=а+b∙x  ,решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

n∙a+b∙∑x=∑y

                                                        yx- y∙x

a∙∑x+b∙∑x²=∑y∙x  получаем  b=       σ²x

табл.№2

Дисперсия получается, по формуле

         1

σy²= n   ∑(yi-y)²

σy²=3964.076-62.72²=30.2776

σх²=3202.034-56.22²=41.3456

       ух-у∙х

b=     σ²x        =(3497,672-62,72∙56,22)/41,3456=0,68

а= у-b∙x=62,72+0,68∙56,22=100,9

уравнение регрессии ŷ=100,9-0,68х

ŷ1=100,9-0,68∙47,1=68,87

ŷ2=100,9-0,68∙59,2=60,64

ŷ3=100,9-0,68*50,2=66,76

ŷ4=100,9-0,68*63,8=57,51

ŷ5=100,9-0,68*60,8=59,55

           Считаем линейный коэффициент парной корреляции

rху=b∙σx ∕ σy=0,68*6,43/5,5025=0,79 следовательно, связь сильная прямая

rху²=0.79²=0.62- коэффициент детерминации

            Вариация результата на 62% объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения ŷx и занесем их в таблицу. Найдем величину средней ошибки аппроксимации:

       |yi-ŷxi|

Аi=     yi     *100%

А1=3,93/72,8*100%=5,3%

А2=2,56/63,2*100%=4,04%

А3=|-4,9| / 61,9*100%=7,8%

А4=1,13/58,7*100%=1,9%

А5=|-2,55| /57,0*100%=4,47%

          В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 4,7%

По каждому наблюдению вычислим величину отклонения. Полученные данные занесем в таблицу

У1-ŷ1=72,8-68,87=3,93

У2-ŷ2=63,2-60,64=2,56

У3-ŷ3=61,9-66,76=-4,9

У4-ŷ4=58,7-57,57=1,13

У5-ŷ5=57,0-59,55=-2,55

Рассчитываем F критерий

              ∑(ỹx-y)²/m                      r²xy

Fфакт=                                                =                       =0,62/(1-0,62)*(5-2)=4,89

                     ∑(y-ỹ)² /(n-m-1)           1-r²xy   (n-2)

        т.к Fтабл.α=0,05 =10,13 следовательно Fтабл> Fфакт  отсюда следует, что гипотеза Но принимается. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

ПОСТРОЕНИЕ СТЕПЕННОЙ РЕГРЕССИВНОЙ МОДЕЛИ

          У=а*х предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

Lg y=lg a+b* lg x;

Y=C+b*X  где

Y=lg y.,C= lg a., X= lg x

Табл.№3

Страницы: 1, 2, 3