(3.10)
где
- индуктивность колебательного звена, Гн,
- значение емкости колебательного звена, Ф.
Подставляя численное значение частоты несущего высокочастотного колебания (f0=918,9 кГц), в (3.9) построим график радиосигнала рисунок 3.6.
Рисунок 3.6 - Радиосигнал
3.3.2 Спектр радиосигнала
Для отыскания спектральной плотности радиосигнала воспользуемся соотношением:
, (3.11)
- спектральная плотность видеосигнала (3.5) на соответствующих частотах, В;
Таким образом, подставляя в выражение (3.11) аналитическое выражение для спектральной плотности видеосигнала (3.5) , и принимаем .
Графическое изображение спектральной плотности радиосигнала приведено на рисунок 3.7. Как видно, при достаточно большом значении частоты несущего высокочастотного колебания, спектральная плотность радиосигнала представляет собой две симметричные копии спектра видеосигнала с половинной амплитудой перенесенные на частоту несущего колебания.
Рисунок 3.7 - Спектральная плотность радиосигнала
3.4 Аналитический сигнал, соответствующий радиосигналу
Аналитический сигнал, соответствующий реальному физическому сигналу , определяется соотношением:
, (3.12)
- функция, сопряженная по Гильберту выходному сигналу;
- реальный физический сигнал.
. (3.13)
Также аналитический сигнал может быть представлен через модуль аналитического сигнала
, (3.14)
и полную фазу (3.15)
в виде (3.16)
Для радиосигнала полную фазу можно записать в форме:
, (3.17)
где 0 - частота несущего высокочастотного колебания, ;
(t) - изменяющаяся во времени фаза, рад; 0 - постоянная во времени начальная фаза, рад. В этом случае аналитический сигнал определяется соотношением:
, (3.18)
-комплексная огибающая аналитического сигнала, соответствующего радиосигналу, В;
Заметим, что комплексная огибающая аналитического сигнала вещественна, то есть не имеет мнимой составляющей и представляет собой видеосигнал (3.2). Поэтому аналитический сигнал, соответствующий радиосигналу можно представить:
Спектральная плотность аналитического сигнала сосредоточена только в области положительных частот и находится из соотношения:
, (3.19)
- спектральная плотность радиосигнала (3.11)
Построим график спектральной плотности аналитического сигнала рисунок 3.8.
Рисунок 3.8 - Спектральная плотность аналитического сигнала
Модуль спектральной плотности дискретного сигнала приведен на рисунок 3.10.
Рисунок 3.10 - Модуль спектральной плотности дискретного сигнала, модуль спектральной плотности видеосигнала.
Таким образом, спектр дискретного сигнала периодичен по частоте, с периодом равным частоте дискретизации. Если эффект наложения спектров отсутствует, то в полосе частот от минус половина частоты дискретизации до плюс половина частоты дискретизации, спектр дискретного сигнала равен спектру аналогового сигнала. Для случая приведенного на рисунок 3.11 это условие не выполняется. Поэтому восстановленный сигнал будет искажен рисунок 3.11.
3.6 Сигнал представленный рядом Котельникова
Получить сигнал, определенный в любой момент времени (аналоговый сигнал fa(t)) можно используя интерполяционную формулу:
, (3.26)
Данный ряд называется рядом Котельникова и позволяет полностью восстановить аналоговый сигнал fa(t) из дискретных выборок этого сигнала, если сигнал fa(t) имеет ограниченный спектр с максимальной частотой fg, и если выборки взяты с частотой не меньшей 2fg. Поскольку сигнал, подвергнутый дискретизации (3.2), имеет неограниченный спектр (3.5), то восстановление сигнала (3.26) по его выборкам (3.23), будет неточным. Уменьшить ошибку до любого уровня можно увеличивая частоту дискретизации. Сигнал восстановленный с помощью выражения (3.26), приведен на рисунок 3.11.
Рисунок 3.11 - Сигнал представленный рядом Котельникова.
3.7 Выводы
Анализируя формулы и графики, приведенные в разделе 3 можно сделать несколько выводов:
1) Ширина спектра зависит от длительности импульса: чем короче сигнал, тем шире спектр и наоборот.
2) Огибающая спектра периодического сигнала имеет форму спектральной плотности одиночного сигнала.
3) Спектр амплитудно-модулированного радиосигнала представляет собой фактически спектр модулирующего видеосигнала, смещенный по оси частот на (f0)щ0.
4) Спектр дискретного сигнала представляет собой сумму спектров видеосигнала смещенных друг относительно друга на n2fg.
4 Анализ электрических цепей
4.1 Исследование апериодического звена
Рисунок 4.1 - Электрическая принципиальная схема апериодического звена.
R1=1000 Ом
C=0.5 мкФ
4.1.1 Комплексный частотный коэффициент передачи апериодического звена
Найдем математическое выражение для комплексного частотного коэффициента передачи, исходя из схемы приведенной на рисунке 4.1:
(4.1)
Из формулы (4.1) легко получить АЧХ и ФЧХ апериодического звена.
АЧХ можно получить, взяв модуль комплексного частотного коэффициента передачи.
ФЧХ вычислим по формуле (4.2).
(4.2)
Построим графики АХЧ и ФЧХ:
Рисунок 4.2- АЧХ апериодического звена
Рисунок 4.3- ФЧХ апериодического звена
4.1.2 Операторный коэффициент передачи
Запишем операторный коэффициент передачи для апериодического звена
. (4.3)
4.1.3 Импульсная характеристика апериодического звена
Импульсная характеристика цепи определяется как реакция цепи на входной сигнал в виде дельта-функции.
Импульсная характеристика находится ОПЛ от операторного коэффициента передачи. ОПЛ определяется следующим образом:
. (4.4)
Однако на практике при расчетах операторным методом пользуются таблицами прямых и обратных преобразований Лапласа. Это в значительной мере облегчает вычисления. Вычислив обратное преобразование Лапласа от операторного коэффициента передачи его получим:
. (4.5)
Рисунок 4.4- Импульсная характеристика апериодического звена
Переходная характеристика цепи представляет собой реакцию цепи на сигнал в виде функции Хевисайда. В общем случае переходная характеристика находится как:
, (4.6)
где L-1 - обратное преобразование Лапласа.
Вычислив выражение (4.6) получим:
. (4.7)
Рисунок 4.5- Переходная характеристика апериодического звена
4.2 Исследование колебательного звена
Рисунок 4.6 - Схема электрическая принципиальная колебательного звена
L=1.5 мкГн
С=20.000 пФ
Q=50
Для последовательного колебательного контура справедлива формула:
,
Выразив R получим и подставив численные значения Q, L и C найдем R=0,173 Ом.
Найдем математическое выражение для комплексного частотного коэффициента передачи, исходя из схемы приведенной на рисунке 4.6:
. (4.8)
Из формулы (4.8), как и для апериодического звена, можно легко получить АЧХ и ФЧХ колебательного звена.
Рисунок 4.7 - АЧХ колебательного звена
Рисунок 4.8 - ФЧХ колебательного звена
(4.9)
4.2.3 Импульсная характеристика колебательного звена
Импульсная характеристика находится как ОПЛ от операторного коэффициента передачи, найдем его при помощи MathCad:
(4.10)
Ниже приведено графическое изображение импульсной характеристики:
Рисунок 4.9- Импульсная характеристика колебательного звена
Переходную характеристику найдем по формуле (4.6) при помощи MathCad.
(4.11)
Рисунок 4.10 - Переходная характеристика колебательного звена
5. Анализ прохождения сигналов через линейные цепи
Для нахождения отклика цепи на входящий сигнал в радиотехнике применяются различные методы, такие как:
временной
спектральный
операторный
При расчетах в пакете MathCAD 2001 мы использовали спектральный метод. Суть данного метода можно представить в виде обратного преобразования Фурье:
, (5.1)
где y(t) - сигнал на выходе цепи,
F(jw) - спектральная плотность входного сигнала,
K(jw) - комплексный коэффициент передачи цепи.
5.1 Прохождение видеосигнала через апериодическое звено
Выходной сигнал можно представить в виде:
(5.2)
где у1(t) - отклик апериодического звена на видеосигнал f(t)
F(jw) - спектральная плотность входного видеосигнала,
K1(jw) - комплексный коэффициент передачи апериодического звена.
Сигнал на выходе апериодического звена при прохождении видеосигнала представлен на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1 - Отклик апериодического звена на видеосигнал
Следует отметить что форма сигнала несколько исказилась.
Объясняется это тем, что в диапазоне частот видеосигнала данная цепь имеет слабо неравномерный коэффициент пропускания, при этом большая часть гармоник сигнала (низкочастотных) проходит без изменений, а некоторая часть - ослабляется. Для большей наглядности изобразим F(j) и K1(j) на одном графике (рисунок 5.2):
Рисунок 5.2 - Значение K1(j) на диапазоне частот видеосигнала
В результате неравномерности коэффициента пропускания в спектре выходного сигнала происходит изменение соотношения энергий гармоник, что приводит к некоторому искажению формы сигнала.
Рисунок 5.3 - Спектр входного f(t) и выходного сигнала y1(t)
5.2 Прохождение радиосигнала через апериодическое звено
. (5.3)
где уr1(t) - отклик апериодического звена на радиосигнал Fr(t)
Fr(jw) - спектральная плотность входного радиосигнала,
Изобразим сигнал yr1(t) графически:
Рисунок 5.4 - Отклик апериодического звена на радиосигнал
Анализируя рисунок 5.4, делаем вывод: на выходе апериодического звена радиосигнал подавлен.
Объясняется это тем, что в диапазоне частот радиосигнала данная цепь имеет практически постоянный коэффициент пропускания приблизительно равный нулю. Для большей наглядности изобразим Fr(j) и K1(j) на одном графике:
Рисунок 5.5 - Значение K(j) на диапазоне частот радиосигнала.
5.3 Прохождение видеосигнала через колебательное звено
. (5.4)
где у2(t) - отклик колебательного звена на видеосигнал f(t)
F(j) - спектральная плотность входного видеосигнала,
K2(j) - комплексный коэффициент передачи колебательного звена.
Отклик колебательного звена на видеосигнал изображен на рисунке 5.6
На выходе видеосигнал подавлен, так как на частотах видеосигнала колебательное звено имеет коэффициент пропускания равный нулю. Для большей наглядности изобразим F(j) и K2(j) на одном графике:
Рисунок 5.7 - Значение F(j) и K2(j).
5.4 Прохождение радиосигнала через колебательное звено
. (5.5)
где уr2(t) - отклик апериодического звена на радиосигнал Fr(t)
Fr(j) - спектральная плотность входного радиосигнала,
K2(j) - комплексный коэффициент передачи апериодического звена.
Изобразим сигнал yr2(t) графически:
Рисунок 5.8 - Отклик колебательного звена на радиосигнал
Сигнал построен не точно, в результате того, что точность системы MathCad ограничена (увеличение точности ведет к неприемлемо большому увеличению времени обработки) .
Сигнал на выходе должен мало отличаться по форме и по амплитуде от входного. Это связано с тем, что колебательное звено, являющееся широкополосным резонансным фильтром, имеет на резонансной частоте коэффициент передачи равный единице. Для большей наглядности изобразим Fr(j) и K2(j) на одном графике:
Рисунок 5.9 - Значения Fr(j) и K2(j).
Заключение
В ходе выполнения курсовой работы был произведен анализ заданных сигналов и радиотехнических цепей, а также проанализировано прохождение сигналов через апериодическую и колебательную цепи. Кроме того, при выполнении данной работы мною изучены основные математические методы анализа цепей и сигналов.
При вычислении спектров сигналов и расчете прохождения сигналов через цепи, оказалось, достаточно удобно вычислять прямое и обратное преобразование Фурье при помощи численных методов, так как аналитическое выражение получается только для относительно простых сигналов и цепей.
- Ширина спектра зависит от длительности импульса: чем короче сигнал, тем шире спектр и наоборот.
- Огибающая спектра периодического сигнала имеет форму спектральной плотности одиночного сигнала.
- Спектр амплитудно-модулированного радиосигнала представляет собой фактически спектр модулирующего видеосигнала, смещенный по оси частот на (f0).
Анализируя формулы и графики приведенные в разделе 5 также можно сделать несколько выводов:
-при прохождении через апериодическое звено видеосигнал слабо исказится.
-при прохождении через апериодическое звено радиосигнал будет полностью подавлен (см. рисунки 5.4 и 5.5).
-при прохождении через колебательное звено видеосигнал будет полностью подавлен (см. рисунки 5.6 и 5.7).
-при прохождении через колебательное звено радиосигнал не значительно исказится (см. и рисунки 5.8 и 5.9).
Список литературы
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: “Высшая школа”, 1988. - 448с.
2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач - М.: “Высшая школа”, 1987. - 208с.
3. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: “Советское радио” , 1971. - 672с.
4. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи: Учеб. пособие для вузов/Г.Г. Галустов, И.С. Гоноровский, М.П. Демин и др.; под ред. И.С.Гоноровского.- М.:Радио и связь, 1989.-248 с.
Страницы: 1, 2
