Экономико- математические методы и прикладные модели (вариант 10)

1. Решите графическим методом задачу линейного программирования. Найти максимум и минимум функции f(X) при заданных ограничениях.

f(x1,x2) = 2x1+x2® max, min

x1+x2 ³ 3

2x1 + 3x2 £ 15

2x1 – 2,5x2 £ 10

0£x2£4

x1³0

1. Построим ОДР задачи (рис. 1).

Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:

       I.      x1+x2 = 3

    II.      2x1 + 3x2 = 15

 III.      2x1 – 2,5x2 = 10

IV.      x2 = 4

Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой многоугольник OBFCDAE (заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР).

2. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину Ñ(2,1) с началом координат О (0,0).

3. Построим некоторую линию уровня 2x1 + 1x2 = а. Пусть, например, а = 0. На рис.1 такой линии уровня отвечает прямая Х, перпендикулярная вектор-градиенту.

4. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня Х в направлении вектор-градиента, а при минимизации — в противоположном направлении. Предельными точками при таком движении линии уровня Х являются соответственно точка A и точка B. Далее она выходит из ОДР.

X

F

B

E

D

C

Рис. 1

Определим координаты точки A, являющейся точкой пересечения третьей прямой и оси абсцисс:

2x1 – 2,5x2 = 10

х2 = 0

х1 = 5

Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х1 = 5; x2 = 0 максимальное значение, равное f(x1, х2) = 5´2 + 0´1 = 10.

Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения первой прямой и оси ординат:

x1+x2 = 3

х1 = 0

х2 = 3

Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х1 = 0; x2 = 3 минимальное значение, равное f(x1, х2) = 0´2 + 3´1 = 3.

2.1.

min f(X) = x1 - 4x2

x1 + x2 ≤ 5

3x1 - x2 ≤ 3

x1,2 ≥ 0

Решение.

После приведения к канонической форме получим

f(X)=x1 -4x2 +0*x3 +0*x4 максимизируется

Ограничения приобрели следующую форму:

1*x1 +1*x2 +1*x3 +0*x4 =5

3*x1 -1*x2 +0*x3 +1*x4 =3

В результате получим следующую симплекс-таблицу: