Но делающим сбережения лицам и инвесторам не нужно жить до 100 лет, чтобы получить выгоды [10. с. 114-123].
Рассмотрим инвестирование с текущей стоимостью в 10000 долл., на которые ежегодно начисляется 8%. После первого года размер их возрастет до 10800 долл. (1,08 х 10000). После второго года они будут стоить 11664 долл. (1,08 х 10800). Еще через три года сумма возрастет до 14693 долл. Такая же концепция применима к потребительским кредитам. Ссуда в 10000 долл. под 8 сложных процентов, начисляемых раз в год, будет оцениваться в 14693 долл. (сумма, которую необходимо возвратить) через 5 лет [12. с. 210-220].
Инвесторы и делающие сбережения лица могут также использовать упрощенное эмпирическое правило для определения того, как долго нужно ждать удвоения суммы денег при данной процентной ставке с начислением процентов раз в год: разделите 72 на ставку процента. Например, инвестиции в 10000 долл., приносящие доход в 8% в год, удвоились бы через 9 лет (72:8).
Но следовало бы знать, что инфляция тоже развивается по принципу сложного процента. Пока инфляция не исчезнет, эти планируемые 20000 долл. через 9 лет будут стоить несколько меньше, чем они стоят теперь[10. с. 114-123].
Когда проценты выплачиваются ежегодно, вычисления по методу сложных и простых процентов приведут к одинаковому результату; в этом случае объявленная ставка процента и действительная ставка будут равны. Данные табл. 1 могут быть использованы для иллюстрации метода вычисления сложных процентов. В этом случае процентный доход, получаемый каждый год, остается на депозите, а не изымается. 50 долл., полученных с 1000 долл. в виде процентов за 1989 г., становятся частью остатка, на который выплачиваются проценты в 1990 г., и т.д.
Следует обратить внимание на то, что в процессе вычисления сложных процентов используется и метод простых процентов, т.е. проценты рассчитываются только на фактическую сумму за фактический период, в течение которого она находилась на депозите [6. с. 65-78].
Таблица 1. Данные об остатках сберегательного счета (при годовом начислении и реинвестировании по ставке 5%)
Дата
(1)
Вклад (или изъятие) (в долл.)
(2)
Остаток на счете на начало периода (в долл.)
(3)
Проценты за год (в долл.)
(4)
(2+З)
Остаток на счете на конец периода (в долл.)
1 янв. 1989 г.
1000
1000,00
50,00
1050,00
1 янв. 1990 г.
(300)
750,00
37,50
787,50
1 янв. 1991 г.
1787,50
89,38
1876,88
Таблица 2. Данные об остатках сберегательного счета (при полугодовом начислении и реинвестировании по ставке 5%)
(2)+(3)
25,00
1025,00
7 янв. 1989г.
25,63
1050,63
750,63
18,77
769,40
7 янв. 1990г.
19,24
788,64
1788,64
44,72
1833,36
7 янв. 1991 г.
45,83
1879,19
Когда используется метод сложных процентов, объявленная и действительная ставки процента равны только в том случае, если процент выплачивается один раз в год. В общем, чем чаще выплачиваются проценты по объявленной ставке, тем выше будет действительная ставка процента. Вычисления процентов на основе данных о вкладах из табл. 1 включены в табл. 2; здесь предполагается, что проценты начисляются каждые полгода (дважды в год). Сумма процентов за каждый шестимесячный период находится умножением остатка за 6 месяцев на половину установленной ставки в 5% (см. столбец 3 табл. 2) [10. с. 114-123].
Сравнивая остаток на счете на конец 1991 г. в 1876,88 долл., подсчитанный в табл. 1 при норме в 5% с ежегодным начислением, с остатком на счете на конец 1991 г. в 1879,19 долл., подсчитанным в табл. 2 при норме в 5% с начислением раз в полгода, мы можем обнаружить, что более высокие доходы связаны с тем, что проценты начисляются чаще. Ясно, что в случае начисления процентов раз в полгода действительная ставка процента выше, чем 5% при начислении раз в год. Используя технику, которая в данном тексте не рассматривается, мы получим действительную ставку процента на вклады из табл. 2 в 5,063%. Сводка действительных ставок процента, связанных с объявленной 5%-й ставкой и различными периодами начисления (число процентных периодов), представлена в табл. 3.
Таблица 3. Действительная ставка процента для периодов начисления разной продолжительности (при объявленной ставке 5%)
Период начисления процентов
Действительная ставка процента
Ежегодно
5,000
Каждые полгода
5,063
Ежеквартально
5,094
Ежемесячно
5,120
Еженедельно
5,125
Непрерывно
5,127
Непрерывное начисление процентов, которое представляет собой начисление в течение самого короткого из возможных промежутка времени, позволяет получить максимальную норму доходности при данной объявленной ставке процента. Из табл. 3 очевидно, что, чем чаще начисляется процент, тем выше действительная ставка. Из-за того влияния, которое оказывает на доход разница в продолжительности периодов начисления процентов, инвестору следовало бы оценивать действительную ставку процента, связанную с различными альтернативами, до того, как сделать выбор [12. с. 210-220].
2. Будущая и приведенная стоимость: развитие концепции сложных процентов
Будущая стоимость — это сумма, до которой возрастет текущий вклад за период с момента его помещения на счет, по которому начисляются сложные проценты (будущую стоимость иногда называют наращенной стоимостью). Возьмем депозит в 1000 долл., приносящий ежегодно 8%, рассчитанных методом сложных процентов. Чтобы найти будущую стоимость этого вклада в конце года, следует проделать такие вычисления:
Сумма денег на конец первого года = 1000 х (1 + 0,08) = 1080 долл.
Если бы деньги были оставлены на депозите еще на год, 8% начислялись бы на остаток счета в 1080 долл. Таким образом, к концу второго года на счете оказалось бы 1166,4 долл. Эти 1166,4 долл. представляли бы остаток на начало года в 1080 долл. плюс 8% от 1080 долл. (86,4 долл.). Будущая стоимость на конец второго года вычисляется следующим образом [10. с. 114-123]:
Сумма денег на конец второго года = 1080 х (1 + 0,08) = 1166,4 долл.
Чтобы определить будущую стоимость 1000 долл. к концу года n, рассмотренные выше процедуры должны быть повторены n раз. Поскольку этот процесс может быть достаточно утомительным, существуют таблицы факторов наращения. Фрагмент такой таблицы представлен в табл. 4. Факторы наращения в таблице показывают сумму, до которой возрос бы первоначальный вклад в 1 долл. при различной комбинации периодов и альтернативных процентных ставок. Например, доллар, вложенный на депозит, по которому выплачивается 8%, и оставленный на нем на два года, возрос бы до 1,166 долл. Используя фактор наращения для ставки в 8% и двух лет (1,166), можно определить будущую стоимость инвестиций (вкладов), если умножить инвестированную сумму на соответствующий фактор наращения. В случае если на депозите на два года под 8% оставлена 1000 долл., при ежегодном реинвестировании итоговая будущая стоимость будет равна 1166 долл. (1,166 х 1000), которая соответствует (за исключением небольшой разницы вследствие округления) стоимости, вычисленной ранее [12. с. 210-220].
Таблица 4. Факторы наращения для одного доллара[1]
Ставка процента
Год
1%
6%
7%
8%
9%
10%
1
1,050
1,060
1,070
1,080
1,090
1,100
2
1,102
1,124
1,145
1,166
1,188
1,210
3
1,158
1,191
1,225
1,260
1,295
1,331
4
1,216
1,262
1,311
1,360
1,412
1,464
5
1,276
1,338
1,403
1,469
1,539
1,611
6
1,340
1,419
1,501
1,587
1,677
1,772
7
1,407
1,504
1,606
1,714
1,828
1,949
8
1,477
1,594
1,718
1,851
1,993
2,144
9
1,551
1,689
1,838
1,999
2,172
2,358
10
1,629
1,791
1,967
2,159
2,367
2,594
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5