Прирост прибыли DPi(t) предприятия от вложений в i-й вариант определяется по формуле 

                                     (2)

Общий прирост DP0(t) по всем трем вариантам суммируется, т.е.

                                         (3)

Используя соотношение (2), запишем

.

Обозначим

,                                         (4) 

тогда

    ,                          (5)

 по условию

                                             (6)

Эффективность использования фонда развития обычно оценивают в относительных единицах

                              (7)

т.е. представляют ее как прибыль за время t, полученную с каждого вложенного рубля.

Тогда объемы вложений по вариантам целесообразно также выражать в виде отношений

                                  .                                                        (8)

Теперь на основании (5) и (8) соотношение (7) можно записать так:

     ;                                       (9)

условие (6) примет вид

 .                                                            (10)

Задача ставится так: надо найти значения q1 ,q2 ,q3, такие, которые обеспечивают

                                                                                  (11)

и при  этом

                                                                                                                                      (12)

Здесь 
  – требуемая эффективность использования фонда развития предприятия.

Условие (11) можно, используя (9), переписать так:

.                                      (13)

Оно может выполняться при различных сочетаниях значений q1, q2, q3,  т.е. условия (11) и (12) не обеспечивают определенности решения задачи. Для этого нужно ввести дополнительное условие. Будем полагать, что поступим наименее предвзято при определении q1, q2, q3, удовлетворяющих условиям (11) и (12), если их возможным значениям придадим максимальную неопределенность.

В качестве меры неопределенности используем энтропию совокупности значений q1, q2, q3, которая может быть записана так [3]:

(Числа qi  меньше единицы, их логарифмы отрицательны и знак минус перед суммой поставлен для того, чтобы энтропия была положительной).

Теперь задача ставится так:

Найти такие  q1, q2, q3, при которых

                                 (14)

и выполняются условия     

  ,                                                         (15) 

.                                       (16)

Здесь условие (13) заменено на знак равенства для обеспечения однозначности. Задача может быть решена известным в математике методом неопределенных множителей Лагранжа. Согласно этому методу на основании (14)-(16) составляется функция

где λ1 и λ2 являются множителями Лагранжа.

Затем определяют частные производные по qi, λ1 и λ2, которые приравнивают к нулю, т.е.

            (17)

Система (17) состоит из 5 уравнений с 5 неизвестными q1, q2, q3, λ1, λ2.  Решение системы уравнений (17) может быть получено с использованием стандартных математических пакетов программ. Также решение системы (17) можно получить, преобразовав ее к более простому виду.

Первые 3 уравнения могут быть переписаны так:

.

Отсюда

       .                                         (18)

Подставим qi в предпоследнее  и последнее уравнения системы (17), получим

 ;                                        (19)

            .                                     (20)

Поделим левую и правую части (19) на левую и правую части (20):

         .                        (21)

Если задаться требуемой эффективностью ETP  использования фонда развития, то (21) будет представлять собой уравнение с одним неизвестным λ1.

Упростим соотношение (21), с этой целью проинтегрируем правую и левую части по λ1,

получим   

 ,

,

отсюда 

.

Обозначим  и запишем

.                                 (22)

Для решения (22) имеется стандартная математическая программа. Ею можно воспользоваться в дисплейном классе.

Вводимые в компьютер параметры I1, I2, I3  вычисляются по формулам (1) и (4) на основе полученных студентом исходных данных (приложение А).

После вычисления  l1, необходимо определить сумму А = ,

затем преобразовать (20) к виду   , отсюда

   .                                                           (23)

Теперь искомые q1, q2, q3 могут быть определены по формулам (18).

Отсутствие ошибок в вычислениях надо проверить по признаку выполнения равенства (15).