. (4.12)
Подставим (4.12) в (4.9).
. (4.13)
Как известно - характеристическое сопротивление контура. Т.о. неравенство (4.13) примет вид:
. (4.14)
Разделив (4.14) на получим:
, (4.15)
но это есть добротность контура Q.
. (4.16)
Теперь если учесть, что (4.15), а затем умножить неравенство на , получим окончательное уравнение для вычисления критических коэффициентов включения.
. (4.17)
Используя [3] определим критический коэффициент включения индуктивности:
3. Рассчитаем неизвестный элемент контура (в нашем случае это индуктивность) по следующей формуле:
(4.18)
Подставив исходные данные, получим:
Определим коэффициент усиления усилителя:
Найдём значения индуктивностей L1 и L2 при помощи [3], используя операцию Given:
4. Представим качественный график процесса установления колебаний в автогенераторе (рисунок 4.3):
Рисунок 4.3 – Процесс установления автоколебаний:
1. Нестационарный режим – режим, при котором параметры колебания меняются.
2. Стационарный режим – режим, при котором параметры колебания не меняются.
Задание №5.
Условие:
Аналоговый сигнал S(t) (рисунок 5.1) длительностью подвергнут дискретизации путем умножения на последовательность - импульсов. Интервал дискретизации Т.
Требуется:
1. Рассчитать спектр аналогового сигнала S(t) и построить график модуля спектральной плотности.
2. Определить максимальную частоту в спектре аналогового сигнала , ограничив спектр, использовав один из критериев.
3. Рассчитать интервал дискретизации Т и количество выборок N. Изобразить дискретный сигнал под аналоговым в том же временном масштабе.
4. Определить спектральную плотность дискретного сигнала и построить график модуля под графиком спектра аналогового сигнала и в том же частотном масштабе.
5. Провести дискретное преобразование Фурье (ДПФ), определить коэффициенты ДПФ и построить спектрограмму модуля этих коэффициентов под графиками спектров аналогового и дискретного сигналов и в том же частотном масштабе.
Записать выражение для Z - преобразования дискретного сигнала.
Решение:
Рисунок 5.1 – график исходного сигнала
1.Рассчитаем спектр аналогового сигнала S(t), данный сигнал представляет собой ни четную ни нечетную функцию. Зададим сигнал S(t) аналитически:
(5.1)
Спектральная плотность рассчитывается путем прямого преобразования Фурье [7]:
. (5.2)
где (5.3)
Где и весовые коэффициенты. Подставляя значения с помощью [3] построим график спектральной плотности (рисунок 5.2).
Рисунок 5.2 – график модуля спектральной плотности
2. Определим максимальную частоту в спектре аналогового сигнала по уровню 0,1.
(5.4) . (5.5)
3. Условие выбора интервала дискретизации возьмем из теоремы Котельникова :
. (5.6)
Подставив значения, получим:
Воспользовавшись (5.6) выберем интервал дискретизации:
В этом случае количество выборок определяется следующим образом:
. (5.7)
N = 21;
Теперь, когда мы нашли интервал дискретизации и количество выборок построим график дискретного сигнала, а так же для сравнения в одном масштабе с ним график аналогового (рисунок 5.3):
Рисунок 5.3 – Графики: а) аналогового сигнала;
б) дискретного сигнала.
На рисунке 5.3 в величине выборок отражен весовой коэффициент δ - импульсов дискретизации.
4. Спектр дискретного сигнала, как известно, представляет собой сумму копий спектральных плоскостей исходного аналогового сигнала, подвергнутого дискретизации, сдвинутых на величину частоты следования выборок друг относительно друга [7].
Т. о. Формула спектральной плотности дискретного сигнала примет вид:
. (5.8)
Пользуясь (5.8) построим график при помощи [3]:
Рисунок 5.4 – а) модуль спектральной плотности аналогового сигнала; б) ограниченный спектр аналогового сигнала;
в) спектральная плотность дискретного сигнала;
5. Дискретное преобразование Фурье определяется формулой (5.9) [2]:
. (5.9)
Где: - номер отсчета спектральной плотности; ;
- номер отсчета дискретного сигнала; .
Т. о. по формуле (5.9) и при помощи [3] можно подсчитать значения дискретных отсчетов:
Зная, что выше вычисленные отсчеты следуют через интервалы , величина которых определяется следующим соотношением [2]:
, (5.10)
где: N – количество выборок дискретного сигнала;
Т – период дискретизации;
можно построить спектрограмму модулей этих коэффициентов.
Данную спектрограмму будем строить в одном частотном масштабе с графиками спектров аналогового и дискретного сигналов и расположив ее под ними.
Рисунок 5.5 – а) Спектр аналогового сигнала;
б) Спектральная плотность дискретного сигнала;
в) Спектрограмма модулей коэффициентов ДПФ.
6. Заменив в формуле (5.9) на Z (в данном случае играет роль частоты) прейдем к выражению для Z-преобразования.
. (5.11)
Распишем (5.11) подробнее, при этом заметим, что как видно из рисунка 5.3 отсчеты с номерами от 0 до 8 равны 1, а 9 равен 0. С учетом всего сказанного получим:
. (5.12)
При помощи простых математических преобразований представим (5.12) в виде дробно-рационального выражения:
. (5.13)
Задание №6.
Уравнения цифровой фильтрации имеют вид:
(6.1)
1. Составить структурную схему фильтра.
2. Найти передаточную функцию фильтра. Определить полюса передаточной функции и нанести их на - плоскости. Сделать вывод об устойчивости.
3. Рассчитать и построить АЧХ и ФЧХ фильтра.
4. Найти системную функцию фильтра. Определить полюса системной функции и нанести их на - плоскости. Сделать вывод об устойчивости.
5. Рассчитать и построить импульсную характеристику фильтра.
6. Рассчитать и построить выходной сигнал цифрового фильтра, если на вход подаётся дискретный сигнал из задания 5.
Исходные данные:
Рисунок 6.1 - Рекурсивный фильтр
2. Передаточная функция цифрового фильтра имеет вид:
, (6.2)
где ак, bk коэффициенты уравнения; - интервал дискретизации; - количество элементов задержки в трансверсальной части; - количество элементов задержки в рекурсивной части.
Найдём полюса передаточной функции с помощью формулы:
(6.3)
Для нахождения полюсов воспользуемся [3]:
Для обеспечения устойчивости необходимо и достаточно, чтобы полюса передаточной функции находились в левой полуплоскости комплексного переменного p. Поскольку
- система устойчива.
3. С помощью [3] рассчитаем и построим АЧХ и ФЧХ фильтра:
(6.4)
Для данной передаточной функции с помощью [3] построим АЧХ и ФЧХ фильтра (рисунок 6.2):
Рисунок 6.2 - а) АЧХ фильтра; б) ФЧХ фильтра.
4. Найдем системную функцию фильтра путем замены ePT на Z. Системная функция будет иметь вид:
(6.5)
Устойчивость фильтра оценивается расположением полюсов системной функции на z плоскости. Фильтр устойчив, если полюса системной функции расположены внутри круга единичного радиуса с центром в точке .
Определим полюса системной функции в плоскости Z с помощью [3]:
- т.е. система устойчива.
5. Импульсная характеристика - это реакция цифрового фильтра на воздействие в виде единичного импульса (функция Кронекера). Используя уравнение цифровой фильтрации, получаем:
(6.6)
где
Для данного фильтра импульсная характеристика будет определятся формулой:
(6.7)
График импульсной характеристики представлен на рисунке 6.4:
Рисунок 6.4.-Импульсная характеристика.
6. Графики входного дискретного сигнала и выходного цифрового сигнала (рисунок6.3):
Рисунок 6.3 - а) входной дискретный сигнал; б) выходной цифровой сигнал.
Задание №7
Синтезировать согласованный фильтр для данного сигнала.
1. Определить комплексный коэффициент передачи фильтра.
2. Синтезировать структурную схему фильтра.
3. Определить и построить выходной сигнал (под входным).
4. Оценить отношение сигнал/помеха на выходе в зависимости от .
Когерентная пачка из радиоимпульсов с прямоугольной огибающей и скважностью равной ,
Рисунок 7.1 – Входной сигнал
1. Синтезировать согласованный фильтр удобно при помощи его комплексного коэффициента передачи. Запишем общую формулу для его определения [2]:
. (7.1)
Где - постоянный коэффициент;
- функция, комплексно сопряженная со спектральной плотностью входного сигнала;
- время задержки пика выходного сигнала.
Для существует ограничение - , это связано с физическими принципами работы согласованного фильтра [2]. Однако обычно полагают:
. (7.2)
Из формулы (7.1) видно, что задача сводится к определению спектральной плотности входного сигнала. Для ее определения разобьем входной сигнал на отдельные импульсы, затем определим спектр одного из них, а результат запишем в виде суммы вышеопределенных спектральных плотностей всех составляющих пачки, но сдвинутых по времени на расстояния кратные периоду их следования.
Итак, определим - спектр одиночного радиоимпульса, путем применения свойства [2], в котором говорится, что спектр радиосигнала это есть спектр его огибающей только сдвинутый в область высоких частот (окрестность ).
. (7.3)
Где - спектральная плотность для огибающей одиночного радиоимпульса, смещенная в область ВЧ на .
Запишем аналитическое выражение для огибающей радиоимпульса:
. (7.4)
Определим , для этого применим прямое преобразование Фурье [7].
;
. (7.5)
Представим формулу для , заменив в (7.5) на :
. (7.6)
Т. о. спектральная плотность всей пачки импульсов будет определяться как сумма спектральных плотностей определяемых формулой (7.6), но сдвинутых друг относительно друга на:
. (7.7)
Представим это соотношение, применив теорему сдвига [2]:
. (7.8)
Запишем формулу комплексно сопряженной спектральной плотности входного сигнала, преобразовав (7.8), путем перемены знака мнимой части.
. (7.9)
Подставим (7.6) в (7.9), а полученный результат в (7.1) и проведем некоторые преобразования для удобства ее дальнейшего использования:
(7.10)
2. Т. о. согласованный фильтр можно представить как каскадное соединение двух блоков:
1. согласованный фильтр одиночного радиоимпульса;
2. т. н. синхронный накопитель (многоотводная линия задержки).
Схема такого фильтра представлена на рисунке 7.2.
Т
Рисунок 7.2 – Структурная схема согласованного фильтра для сигнала представленного на рис. 7.1.
Рисунок 7.3 - График пачки радиоимпульсов, проходящих через линию задержки
Сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до константы совпадает с автокорреляционной функцией входного сигнала, сдвинутой на в сторону запаздывания [2].
АКФ пачки радиоимпульсов с прямоугольной огибающей представляет собой последовательность треугольных импульсов длительностью и максимумом равным , где n –количество импульсов пачки, Э1 – полная энергия одного импульса (максимум АКФ одиночного импульса).
Для начала рассчитаем АКФ одиночного радиоимпульса.
Как известно АКФ радиосигнала равна произведению АКФ огибающей на АКФ несущей [1]:
. (7.11)
Поскольку АКФ несущего колебания есть само это колебание нулевой начальной фазой и амплитудой равной 1, то можно записать:
. (7.12)
Рассчитаем АКФ огибающей :
. (7.13)
Подставим (7.13) в (7.12):
. (7.14)
3. При помощи (7.14) и приведенных выше условий с помощью [3] построим график выходного сигнала и АКФ (рисунок 7.4):
Рисунок 7.4 –а) входной сигнал, б) сигнал на выходе согласованного фильтра; в)АКФ сигнала
4. Отношение сигнал/помеха на выходе согласованного фильтра равно:
. (7.15)
Где Э – полная энергия входного сигнала;
W0 – спектральная плотность мощности белого шума на входе фильтра.
Величина полной энергии входного сигнала с точностью до константы совпадает со значением выходного сигнала при (по свойствам АКФ).
. (7.16)
Из формул (7.15) и (7.16) видно, что при увеличении n – количества и скважности импульсов пачки входного сигнала соотношение сигнал/помеха на выходе фильтра увеличивается, что соответствует теории поскольку при этом растет база сигнала. Однако данный способ повышения выигрыша по величине отношения не улучшает корреляционных свойств сигнала, из-за чего через пороговое устройство может проходить не один, а несколько импульсов и отметок на экране индикаторного устройства так же будет несколько. Т. о. кроме увеличения базы сигнала необходимо еще и улучшать его корреляционные свойства.
1. Гармаш М. А. Конспект лекций по дисциплине СиПРТ (1,2 часть).
2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов.4-е издание, перераб. и доп.-М.:Радио и связь,1986.- 512с.
3. Математический пакет MathCAD 2000.
4. Гимпилевич Ю.Б., Афонин И.Л. методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине СиПРТ для студентов специальности 7.090701-“Радиотехника” (дневная форма обучения).
Страницы: 1, 2, 3
