Формирование поездов

Задача 1

Статистический анализ плана формирования поездов

На заданном участке полигона сети железных дорог (рис. 1.1) составить варианты плана формирования поездов и провести их статистический анализ с использованием теории вероятностей.

 А Б В Г

Рис. 1.1. Схема Участка АГ

Исходные данные:

Вагоно-часы простоя под накоплением сm:

на станции А – 900 вагонов-ч;

на станции Б – 800 вагонов-ч;

на станции В – 900 вагонов-ч.

Экономия от проследования станции без переработки Тэк:

на станции Б – 4,5 ч;

на станции В – 3,5 ч.

Среднеквадратическое отклонение вагонопотоков σ = 75 вагонов.

Параметр «а» в равномерном распределении = 60 вагонов.

Среднесуточные вагонопотоки в назначении:

АГ – 150 вагонов;

АБ – 28 вагонов;

АВ – 30 вагонов;

БГ – 300 вагонов;

БВ – 50 вагонов;

ВГ – 0 вагонов;

Законы распределения вагонопотоков в назначении:

АГ – равномерное распределение;

БГ - нормальное распределение.

Решение:

Представим ступенчатый график вагонопотоков на рис. 1.2.

А Б В Г

  4,5 3,5

Рис. 1. 2. Схема участка АГ и ступенчатый график вагонопотоков

Величины  есть средние значения вагонопотоков. Назначение ВГ отсутствует по условию.

Известным условием выделения струи вагонопотока в самостоятельное назначение является удовлетворение её неравенству:

 (1.1)

где  - мощность струи вагонопотока со станции i назначением на станцию J;

 - экономия от проследования без переработки сортировочных станций, расположенных между станциями назначения данной струи и более ближней смежной струи i – 1;

с - параметр накопления вагонов в сортировочном парке на составы грузовых поездов;

m - среднее число вагонов в составах грузовых поездов.

Из формулы (1.1) следует, что выделение данной струи потока в самостоятельное назначение будет эффективно во всех случаях, когда

. ( 1.2 )

Но вследствие колебаний потока мощность струи может уменьшится до величины

. ( 1.3 )

При этом она, очевидно, перестаёт удовлетворять необходимому и достаточному условиям выделения. Вероятность её появления в отдельные j-е сутки, а также вероятность появления струи, удовлетворяющей условию ( 1.2 ), может быть определена при известной функции распределения.

Для струи N1 соответствие достаточному условию начинается с величины потока:

 вагонов

Необходимому условию соответствует поток:

 вагонов.

Для струи N4 необходимое и достаточное условия совпадают:

 вагонов.

По условию средние значения вагонопотоков N1 = 150 вагонов, N4 =300 вагонов, следовательно, струя N1 удовлетворяет необходимому и N4 удовлетворяет достаточному условию, а остальные, даже будучи объединены, не удовлетворяют и необходимому (N2 = 28 вагонов, N3 = 30 вагонов, N5 = 50 вагонов ).

Оптимальный план формирования по средним значениям потоков N1÷N5 представим на рис. 1.3.

А Б В Г

Рис. 1.3.1 вариант оптимального плана формирования поездов

Рассмотрим теперь полигон с учётом суточных колебаний вагонопотоков. Очевидно, что достаточно располагать информацией о колебаниях двух струй потока N1 и N4.

Определим вероятности сохранения оптимальности приведённого на рис. 1.3 варианта при изменениях потоков, а также вероятности сохранения других оптимальных планов формирования поездов.

Суточные значения струи N1 распределены равномерно с параметрами  вагонов, а = 60 вагонов.

Известно, что математическое ожидание случайной величины х, равномерно распределенной на участке от а до b:

. ( 1.4 )

Из формулы ( 1.4 ) найдём параметр b:

b=2*M[x]-a=2*150-60=240 вагонов.

Назначение АГ со струёй N1 будет, очевидно, эффективно для значений Nij от 113 вагонов и более (верхний предел по условию распределения – 240 вагонов, вероятность эффективности при Nij >240 равна нулю ). Вероятность этого события для равномерного распределения определим по формуле:

. ( 1.5 )

.

Суточные значения струи N4 распределены по нормальному закону с параметрами  =300 вагонов и σ =75 вагонов.

Вероятность попадания случайной величины на участок от  до  рассчитывается по формуле:

 ( 1.6 )

Вероятность появления суточных размеров струи N4j≥229 вагонов, распределённой по нормальному закону распределения, рассчитаем следующим образом:

P(N4j≥229)=1-Ф((229-300)/75)=1-Ф(-0,95)=1-0,1711=0,8289.

Расчёты показывают, что по отдельности выделение струй N1 и N4 в самостоятельные назначения эффективно в большинстве случаев ( соответственно из 100 дней для N1 – в 71 день, а для N4 – в 83 дня ). Однако в целом вероятность сохранения оптимального плана, показанного на рис. 1.3, будет ниже и составит:

P1=P(N1j≥113) P(N4j≥229)=0.7056*0.8289=0.5849.

Рассмотрим, что произойдёт, если вагонопотоки N1j и N4j примут значения, меньше критических (соответственно 113 и 229 вагонов).

Сперва рассмотрим более короткое назначение БГ с потоком N4. Вероятность для N4j стать менее 229 вагонов в сутки составляет:

P(N4j<229)=1-P(N4j≥229)=1-0.8289=0.1711.

При этом по-разному складывается положение с назначением АГ. Оно может сохраниться с вероятностью 0,5323. В этом случае оптимальным будет вариант плана формирования II, показанный на рис. 1.4.

Рис. 1.4. II вариант оптимального плана формирования поездов

Вероятность того, что такой вариант будет оптимальным:

PІІ=P(N1j≥113) P(N4j<229)=0.7056*0.1711=0.1207.

Если же оба потока будут меньше своих критических значений, то оптимальными могут быть два варианта. Так, при N1j + N4j < 229 план формирования не будет иметь ни одного сквозного назначения ( вариант III, рис. 1.5 ).

Рис. 1.5. III вариант оптимального плана формирования поездов

Вероятность ІІI варианта посчитаем следующим образом.

Допустим N1j=X и N4j=Y. Тогда вероятность совмещения событий N1j+N4j<229 может быть уподоблена вероятности попадания точки M(X,Y) в определённую площадь, ограниченную осями координат и прямой с уравнением X+Y=229 (рис. 1.6), при известных законах распределения координат X и Y. Для этого треугольник Oab разбивается на элементарные прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат.

Вероятность попадания точки в первый прямоугольник  с (площадь треугольника, не попадающего в область допустимых значений, равна площади треугольника abo,) равна произведению вероятностей 0<X1<39 и 0<Y1<209,5. При этом, так как параметр X распределён по равномерному закону на отрезке (60; 240), то вероятность в данном случае равна 0.

P1=0

Вероятность попадания точки во второй прямоугольник равна произведению вероятностей 39<X<77 (учтём, что при X<60 вероятность первого множителя нулевая, поэтому нижний предел в данном случае 60 вагонов ) и 0<Y<171:

P2=[(77-60)/(240-60)]*[Ф((171-300)/75)-Ф((0-300)/75)]=

=0.0944*[Ф(-1,72)-Ф(-4)]= 0,0944*(0,0427-0)=0,0040.

Страницы: 1, 2