Наиболее распространенной в эконометрических приложениях формой представления стохастической зависимости является аддитивная линей­ная форма, которая и будет главным предметом исследования в нашем изложении:

 (5)

Здесь yt - значение результирующей (объясняемой) переменной, измерен­ное в t-u временном (или пространственном) такте, х t(1),х t (2)…х t (р) - значения участвующих в соотношении объясняющих переменных, полу­ченные в том же t-м измерении, θ1, θ2,..., θ t - некоторые параметры (как правило, не известные до проведения соответствующего статистическо­го анализа), δ t - случайная составляющая, характеризующая разницу между модельный и наблюденным значениями анализируемой результи­рующей переменной, зафиксированную в t-м измерении. Под модельный значением результирующей переменной ỹt здесь и в дальнейшем мы бу­дем понимать ее значение, восстановленное по заданным величинам объ­ясняющих переменных при условии, что коэффициенты θ 1, θ 2,..., θ p нам известны, т.е.

 (6)

При такой интерпретации модельного значения результирующей пе­ременной случайную составляющую   можно интерпретировать как слу­чайную ошибку прогноза у по заданным значениям  х (1),х (2),х (р), причем, чтобы исключить систематическую ошибку в оценке yt по ỹt, обычно полагают, что среднее значение случайной составляю­щей t при всех значениях t равно нулю (т.е. Еδ t =0). Очевидно, чем больше информации заключено в значениях объясняющих переменных х t(1),х t (2),…,х t (р)  относительно величины у, тем надежнее будет прогноз и тем меньше будет ошибка прогноза δ. Малость случайной величины - это значит, что ее значения сосредоточены в окрестности нуля с малой дисперсией.

Следующий шаг в развитии экономических теорий состоит в группи­ровке отдельных соотношений в модель. Всякая математическая модель является лишь упрощенным формализованным представлением реально­го объекта (явления, процесса), и искусство ее построения состоит в том, чтобы совместить как можно большую лаконичность параметризации мо­дели с достаточной адекватностью описания именно тех сторон моделиру­емой реальности, которые интересуют исследователя. Количество связей, включаемых в экономическую модель, зависит от условий, при которых эта модель конструируется, и от подробности объяснения, к которой мы стремимся. Например, традиционная модель спроса и предложения долж­на объяснять соотношения между ценой и объемом выпуска, характерные для некоторого определенного рынка. Она содержит три уравнения, а именно: уравнение спроса, уравнение предложения и уравнение реакции рынка. В эти уравнения, помимо интересующих нас объема выпуска и цены, будут входить и другие переменные; так, например, в уравнение спроса войдет потребительский доход, а в уравнение предложения - цена. Объяснение, достигнутое с помощью такой модели, обусловлено значени­ями некоторых «внешних» по отношению к модели переменных и в этом смысле модель является неполной, или условной. Более претенциозные модели содержат гораздо больше уравнений и с их помощью пытаются отразить поведение существенно большего числа переменных; однако и они остаются условными, поскольку тоже содержат переменные, не опре­деляемые или не объясняемые моделью.

Все экономические модели, независимо от того, относятся они ко все­му хозяйству или к его элементам (т. е. к макроэкономике, отрасли, фирме или рынку), имеют некоторые общие особенности. Во-первых, они осно­ваны на предположении, что поведение экономических переменных опре­деляется с помощью совместных и одновременных операций с некоторым числом экономических соотношений. Во-вторых, принимается гипотеза, в силу которой модель, допуская упрощение сложной действительности, тем не менее улавливает главные характеристики изучаемого объекта. В-третьих, создатель модели полагает, что на основе достигнутого с ее помощью понимания реальной системы удастся предсказать ее будущее движение и, возможно, управлять им в целях улучшения экономического благосостояния.

Чтобы проиллюстрировать сказанное и наметить пути для выяснения специфической роли эконометрики, рассмотрим пример весьма общей и приближенной макромодели.

Пример1:

Предположим, что экономист-теоретик сформули­ровал следующие положения:

• потребление есть возрастающая функция от имеющегося в наличии дохода, но возрастающая, видимо, медленнее, чем рост дохода;

• объем инвестиций есть возрастающая функция национального дохода и убывающая функция характеристики государственного регулирова­ния (например, нормы процента);

• национальный доход есть сумма потребительских, инвестиционных и государственных закупок товаров и услуг.

Наша первая задача - перевести эти положения на математический язык. И тут мы немедленно сталкиваемся с многообразием открываю­щихся перед нами возможных способов удовлетворения сформулирован­ным априорным требованиям теоретика. Какие соотношения выбрать между переменными - линейные или нелинейные? Если остановиться на нелинейных, то какими они должны быть - логарифмическими, поли­номиальными или какими-либо еще? Даже определив форму конкретного соотношения, мы оставляем еще нерешенной проблему выбора для раз­личных уравнений запаздываний по времени. Будут ли, например, ин­вестиции текущего периода реагировать только на национальный доход, произведенный в последнем периоде, или же на них скажется динамика не скольких предыдущих периодов? Обычный выход из этих трудностей со­стоит в выборе при первоначальном анализе наиболее простой из возмож­ных форм этих соотношений. Тогда появляется возможность записать на основе указанных выше положений следующую линейную относительно анализируемых переменных и аддитивную относительно случайных со­ставляющих модель:

где априорные ограничения выражены неравенствами

Эти три соотношения вместе с ограничениями образуют модель. В ней уt(1) обозначает потребление, у t(2),- инвестиции, у t(3) - национальный до­ход, х t(1) -  подоходный налог, х t(2) - норму процента как инструмент государственного регулирования, хt(3)  - государственные закупки това­ров и услуг, измеренные в «момент времени»   t.

Присутствие в уравнениях (6а) и (6б) «остаточных» случайных составляющих  δt(1) и  δt(2) обусловлено необходимостью учесть влияние со­ответственно на у t(1)  и у t(2) ряда неучтенных факторов. Действительно, нереалистично ожидать, что величина потребления уt(1) будет однозначно определяться уровнями национального дохода (у t(3) ) и подоходного налога (хt(1)); аналогично величина инвестиций у t(2)  зависит, очевидно, не только от достигнутого в предыдущий год уровня национального дохода (у t-1(3)) и от величины нормы процента (х t(2)), но и от ряда не учтенных в уравнении ( 6б ) факторов. Полученная модель содержит два уравнения, объясняющие поведение потребителей и инвесторов, и одно тождество. Модель сформулирована для дискретных периодов времени и имеет запаздывание (лаг) в один период для отражения воздействия национального дохода на инвестиции.

Этот пример объясняет общие черты од­ного из важнейших этапов эконометрического моделирования, в процессе которого исследователь математически формализует отдельные положе­ния экономической теории и объединяет их в систему. В дальнейшем мы используем этот пример для пояснения ряда основных понятий экономе­трического моделирования.

Проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты как один из этапов эконометрического исследования

По своему назначению и характеру решаемых задач статистические критерии чрезвычайно разнообразны. Однако их объединяет общность логической схемы, по которой они строятся. Коротко эту логическую схему можно описать так.

1.Выдвигается гипотеза Н0.

Задаются величиной так называемого уровня значимости критерия
ά. Дело в том, что всякое статистическое решение, т. е. решение, прини­маемое на основании ограниченного ряда наблюдений, неизбежно сопрово­ждается некоторой, хотя, возможно, может и очень малой, вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону. Скажем, в какой-то небольшой доле случаев а гипотеза Н0 может оказаться отверг­нутой, в то время как на самом деле она является справедливой, или, наоборот, в какой-то небольшой доле случаев β мы можем принять нашу гипотезу, в то время как на самом деле она ошибочна, а справедливым оказывается некоторое конкурирующее с ней предположение - альтер­нативная гипотеза Н1.  При фиксированном объеме выборочных данных величину вероятности одной из этих ошибок мы можем выбирать по сво­ему усмотрению. Если же объем выборки можно как угодно увеличивать, то имеется принципиальная возможность добиваться как угодно малых вероятностей обеих ошибок ά и β при любом фиксированном конкуриру­ющем предположительном утверждении Н1.  В частности, при фиксиро­ванном объеме выборки обычно задаются величиной а вероятности оши­бочного отвержения проверяемой гипотезы Н0, которую часто называют «основной»    или «нулевой».   Эту вероятность ошибочного отклонения «нулевой»   гипотезы принято называть уровнем значимости или разме­ром критерия.  Выбор величины уровня значимости а зависит от сопо­ставления потерь, которые мы понесем в случае ошибочных заключений в ту или иную сторону: чем весомее для нас потери от ошибочного отвержения высказанной гипотезы Н0, тем меньшей выбирается величина ά.

3. Задаются некоторой функцией от результатов наблюдения (крити­ческой статистикой) γ(n)= γ (х1,  х2,…, х3).  Эта критическая стати­стика γ(n), как и всякая функция от результатов наблюдения, сама явля­ется случайной величиной и в предположении справедливости гипотезы Н0 подчинена некоторому хорошо изученному (затабулированному) закону распределения с плотностью f γ(n)(u).

4.Из таблиц распределения f γ(n)(u) находятся 100(1 - ά/2)%-ная точка γminά/2  и 100 ά/2%-ная точка γmaxά/2, разделяющие всю область мыслимых зна­чений случайной величины γ(n) на три части: область неправдоподобно малых (I), неправдоподобно больших (III) и естественных или правдопо­добных (в условиях справедливости гипотезы Н0) значений (II) (рис.1). В тех случаях, когда основную опасность для нашего утверждения пред­ставляют только односторонние отклонения, т.е.  только «слишком ма­ленькие»   или только «слишком большие»  значения критической стати­стики  γ(n) находят лишь одну процентную точку: либо 100(1 -ά) %- ную точку γminά, которая будет разделять весь диапазон значений γ(n)  на две части:   область неправдоподобно малых и область правдоподобных зна­чений; либо 100 ά %-ную точку γ(max)ά, она будет разделять весь диапазон значений γ(n) на область неправдоподобно больших и область правдопо­добных значений.

Страницы: 1, 2, 3