1.3.2. Применение булевой алгебры для описания

Как уже было отмечено выше, функционирование логических элементов можно описать логическими (булевыми) функциями. В свою очередь логические функции можно определить (задать), перечислив все условия, при которых функция принимает значение лог.1, т.е. по условиям истинности, так и по условиям ложности (значения лог.0). Аналогично, рассматривая работу логического (какого-либо) элемента, можно перечислить все условия, при которых на выходе появляется сигнал лог.1, либо условия, когда на выходе элемента будет присутствовать сигнал лог.0. В этом заключается принцип дуальности (двойственности) в описании логических устройств.

В технике, при описании работы различных устройств, широко используется понятие «активного», в противоположность ему, «неактивного» значения какого-либо сигнала. При этом под активным значением (уровнем) сигнала понимается такое действие, которое вызывает на выходе устройства желаемое действие или, по-другому, устройство оказывает активные действия на внешние устройства. Наоборот, неактивные действия оказывают пассивное действие на внешние устройства. Так, в логике обычно акцентируют внимание на истинности высказываний, поэтому истинность высказываний следует считать по умолчанию их активным значением. Аналогично, при описании технических устройств можно акцентировать внимание на условиях их «срабатывания» либо на условиях «несрабатывания».

Соглашения, при которых сигнал лог.1 считается активным, называют соглашениями «положительной» логики. Наоборот, когда за активное значение принимается уровень лог.0, такие соглашения называют соглашениями «отрицательной» логики. Как правило, за сигнал лог.1 принимается более «высокий» уровень, а за сигнал лог.0 «низкий» уровень сигналов. Например, при использовании ИМС ТТЛ сигналом лог.1 считается напряжение не менее +2,4 В, а сигналом лог.0 напряжение больше нуля, но не больше 0,4 В. Это стандартные уровни сигналов в устройствах на ИМС ТТЛ.

Описания, составленные при соглашениях положительной логики и при соглашениях отрицательной логики, логически эквивалентны, так как описывают одно и тоже устройство. Однако сложность технической реализации логических устройств в зависимости от выбранного соглашения может оказаться существенно различной. Поэтому всегда возникает проблема выбора способа описания с целью получения наиболее простого технического решения.

Как уже было сказано, основными функциями алгебры логики являются функции двух переменных. Можно составить эти функции чисто формально, придавая аргументам всевозможные значения (комбинации их значений), и затем придать функциям так же всевозможные значения. Поскольку и аргументы и функции могут принимать только два значения, то нетрудно определить число комбинаций, составленных из аргументов, и число всех возможных функций. Пусть число аргументов будет n, а количество их комбинаций N, тогда

N = 2n. (1.1)

Число же всевозможных логических функций тогда можно рассчитать по формуле

M = 2N = . (1.2)

Как видно из формулы (1.2), число булевых (логических) функций быстро растёт с увеличением числа аргументов n. Так, при n =2 получим N=22=4, а М=24=16, т.е. шестнадцать логических функций от двух аргументов.

В табл. 1.3 приведены названия и обозначения функций, их значения на том или ином наборе значений аргументов a и b, а также алгебраические выражения этих функций в дизъюнктивной совершенной нормальной форме (ДСНФ) и конъюнктивной совершенной нормальной форме (КСНФ).

Из анализа этой таблицы следует, что среди множества приведённых функций есть функции-константы «нулевая» и «единичная», функции «повторения» и «инверсии» (функции НЕ) входных переменных a и b, фактически являющиеся функциями одного аргумента, и есть функции, которые существенно зависят от двух аргументов.

В приведённых алгебраических выражениях знаком + (плюс) обозначена операция логического сложения (дизъюнкции), чертой над переменной или над логическим выражением обозначена операция инверсии, а символы логического умножения (произведения) пропущены.

Таблица 1.3