Рефераты. Теория производственных возможностей

 

Производственная функция Кооба-Дугласа.
 

 

 

 


Производственная функция Кооба-Дугласа.

Производственная функция Кобба-Дугласа — самая известная из всех производственных функций неоклассического типа — была открыта в 20-х годах нашего века экономистом Дугласом в сотрудничестве с математиком Коббом и получила широкое применение в эмпирических исследованиях. В нашу программу включена производственная функция, оцененная Дугласом на основе данных по обрабатывающей промышленности США. Y — индекс производства, X1 и X2 — соответственно индексы наемной рабочей силы и капитального оборудования. В эконометрических исследованиях часто применяют производственную функцию, имеющую постоянные эластичности производственных факторов. Эта функция была предложена экономистами Коббом и Дугласом и носит, соответственно, их имя.

Для случая двух факторов, K (капитал, основные фонды) и L (труд, трудозатраты) функция Кобба-Дугласа в логарифмических координатах линейна, т.е. имеет вид

\begin{displaymath}\log f(K,L) = \alpha_1 \log K + \alpha_2\log L + \beta.\end{displaymath}


Переходя к переменным K,L получаем:

 \begin{displaymath}
f(K,L) = C_0K^{\alpha_1}L^{\alpha_2},\end{displaymath}

(13)


где \(\alpha_1,\alpha_2\)- постоянные эластичности выпуска по капиталу и труду, \(C_0 = e^\beta\)-- масштабирующая постоянная.

Если выпуск продукции при увеличении всех факторов в одинаковой степени увеличивается в такой же степени, т.е.

\begin{displaymath}f(\lambda K,\lambda L) = \lambda f(K,L),
\end{displaymath}


то \(\alpha_1 + \alpha_2 = 1\)и функция Кобба-Дугласа принимает вид:

\begin{displaymath}f(K,L) = C_0L\left(\frac{K}{L}\right)^\alpha.
\end{displaymath}


Определим предельную норму замещения для функции Кобба-Дугласа. Легко проверить, что предельная норма замещения капитала трудом

\begin{displaymath}\frac{dK}{dL} = -\frac{\alpha_2}{\alpha_1}\frac{K}{L},
\end{displaymath}


где K/L = F -- фондовооруженность производства. При этом, если \(\alpha_2 > \alpha_1\), то производство является трудоинтенсивным, если \(\alpha_2 < \alpha_1\)- фондоинтенсивным.

Введя переменные F и \(\gamma = \frac{dK}{dL}\), получим, что

\begin{displaymath}\gamma = -\frac{\alpha_2}{\alpha_1}F,
\end{displaymath}


или \(\log\gamma = \log F + const,\)откуда

\begin{displaymath}\frac{d\log\gamma}{d\log F}=1,
\end{displaymath}


т.е. эластичность предельной нормы замещения труда капиталом по фондовооруженности для производственной функции Кобба-Дугласа равна единице

Вместе с тем обработка эмпирической экономической статистики показывает, что эта величина может быть и не равна единице. В качестве простейшего обобщения функции Кобба-Дугласа можно предположить, что

\begin{displaymath}\frac{d\log\gamma}{d\log F}=\rho,
\end{displaymath}


или

\begin{displaymath}\log(\frac{dK}{dL})=\rho\log\frac{K}{L} = \rho\log\frac{K}{L} + const,
\end{displaymath}


где \(\rho\)-- некоторая константа. При этом

\begin{displaymath}\frac{dK}{dL} = C\left(\frac{K}{L}\right)^\rho. \end{displaymath}


Решая это дифференциальное уравнение, получаем

\begin{displaymath}Q(K,L) = C_0[CL^{-\rho}+(1-C)K^{-\rho}]^{-1/\rho}. \end{displaymath}


Эта производственная функция сокращенно называется CES-функция -- производственная функция с постоянной эластичностью предельной нормы замещения.

Предельная норма замещения для функции CES определяется следующей формулой:

\begin{displaymath}R = \frac{Q_L}{Q_K} = \frac{\delta}{1 - \delta}\left(\frac{K}{L}\right)^{1+\rho}
\end{displaymath}


Таким образом, она зависит как от K и L, так и от \(\delta\)и \(\rho\). Выписав частные производные R по K и L, получаем:

\begin{displaymath}\frac{\partial R}{\partial K} =
\frac{\delta}{1 - \delta} \frac{(1 + \rho)K^{\rho}}{L^{1 + \rho}} =
\frac{(1 + \rho)R}{K}
\end{displaymath}


 

\begin{displaymath}\frac{\partial R}{\partial L} =
\frac{\delta}{1 - \delta}\fra...
...1 - \rho)K^{1 + \rho}}{L^{2 + \rho}} =
\frac{-(1 + \rho)R}{L},
\end{displaymath}


а эластичность замещения можно записать следующим образом:

\begin{displaymath}\sigma = \frac{d(\ln (K/L) )}{d(ln (R))} =
\frac{(L/K)d(K/L)}{dR/R} = \frac{1}{1 + \rho}.
\end{displaymath}


Таким образом параметр \(\rho\)характеризует эластичность замещения и вместе с тем \(\sigma\)не зависит от значений Q,K,L. Этим и объясняется название функции -- ''производственная функция с постоянной эластичностью замещения''. При увеличении затрат K и L в \(\lambda\)раз объем выпускаемой продукции изменится следующим образом:

\begin{displaymath}Q' = \gamma[(1 - \delta)\lambda^{-\rho}K^{-\rho} +
\delta\lambda^{-\rho}L^{-\rho}]^{-\nu/\rho} = \lambda^\nu Q.
\end{displaymath}


При \(\nu = 1\)эффективность не зависит от изменения масштабов производства; \(\nu > 1\)-- с расширением масштабов производства повышается и его эффективность; \(\nu < 1\)-- с расширением масштабов производства его эффективность снижается.

Краткосрочность и долговременностьТаким образом, \(\nu\)представляет собой параметр, который характеризует поведение эффективности производства. Как и в случае производственной функции Кобба-Дугласа, поведение эффективности определяется выбором значений параметров и не зависит от величин K и L.

 

 

 

                                                  Говоря о производстве и его издержках, важно раз­личать их действие в краткосрочный и долговременный периоды. Краткосрочным называют период времени, в те­чение которого невозможно изменить хотя бы один производственный фактор. Факторы, которые не могут изменяться в данный период, называются фиксированны­ми производственными факторами. Например, обычно тре­буется длительное время для внесения изменений в на­правления использования капитала фирмы — новый завод должен быть спроектирован и построен, а станки и прочее оборудование должны быть заказаны и смонтированы, на что уходит год и более. Долговременный период представ­ляет собой отрезок времени, достаточный для внесения изменений во все факторы.  Такие факторы называют переменными. На краткосрочном отрезке времени фирмы могут изменять интенсивность, с которой они используют определенные завод и оборудование. На  долговременном  же  отрезке они могут  изменять и  мощность завода. Необходимо различать действия крат­косрочных и долгосрочных факторов в каждом отдельном случае.Фирмы постоянно принимают краткосрочные производственные решения и одновременно планируют изменения факторов в  долговременный период.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7



2012 © Все права защищены
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.