В момент t система находилась в состоянии Ek+1 , за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна
Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние Ek за промежуток времени h имеют вероятность, равную 0(h).
Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее равенство:
Несложные преобразования приводят нас к такому уравнению для 1 £ k < m:
(4)
Подобные же рассуждения для k ³ m приводят к уравнению
` (5)
Для определения вероятностей Pk(t) мы получили бесконечную систему дифференциальных уравнений (2)-(5). Ее решение представляет несомненные технические трудности.
3. Определение стационарного решения.
В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для t ® ¥. Существование таких решений устанавливается так называемыми эргодическими теоремами, некоторые из них позднее будут нами установлены. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введем для них обозначения Pk . Заметим дополнительно, (этого мы также сейчас не станем доказывать), что при t®¥.
Сказанное позволяет заключить, что уравнения (3), (4) и (5) для стационарных вероятностей принимают следующий вид:
(6)
при 1 £ k < m
(7)
при k ³ m
(8)
К этим уравнениям добавляется нормирующее условие
(9)
Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введем обозначения: при 1£ k<m
Система уравнений (6)-(8) в этих обозначениях принемает такой вид:
z1=0, zk-zk+1=0 при k ³ 1
Отсюда заключается, что при всех k ³ 1 zk =0
т.е. при 1 £ k < m
kmPk=lPk-1 (10)
и при k ³ m mmPk=lPk-1 (11)
Введем для удобства записи обозначение
r=l/m.
Уравнение (10) позволяет заключить, что при 1 £ k < m
(12)
При k ³ m из уравнения (11) находим, что
и следовательно, при k ³ m
(13)
Остается найти P0. Для этого в (9) подставляем выражения Pk из (12) и (13). В результате
Так бесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, находится только при условии, что
r < m (14)
то при этом положении находим равенство
(15)
Если условие (14) не выполнено, т.е. если r ³ m, то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения P0 , расходится и, значит, P0 должно быть равно 0. Но при этом, как следует из (12) и (13), при всех k ³ 1 оказывается Pk =0.
Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при r ³ m с течением времени очередь стремится к ¥ по вероятности.
4. Некоторые подготовительные результаты.
Во введении мы уже говорили, что для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания. Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначим буквой g. Рассмотрим сейчас только задачу определения распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания. Обозначим далее через P{g > t} вероятность того, что длительность ожидания превзойдет t, и через Pk{g > t} вероятность неравенства, указанного в скобке, при условии, что в момент поступления требования, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство
P{g > t}=. (16)
Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для пользования, приготовим некоторые необходимые нам для дальнейшего сведения. Прежде всего для случаев m=1 и m=2 найдем простые формулы для P0. несложные преобразования приводят к таким равенствам: при m=1
P0=1-r, (17)
а при m=2
(18)
Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна
(19)
Эта формула для m=1 принимает особенно простой вид:
p=r, (20)
при m=2
(21)
Напомним, что в формуле (19) r может принимать любое значение от 0 до m (включительно). Так что в формуле (20) r < 1, а в (21) r < 2.
5. определение функции распределения длительности ожидания.
Если в момент поступления требования в очереди уже находились k-m требований, то поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены k-m+1 требований. Пусть qs(t) означает вероятность того, что за промежуток времени длительности t после поступления интересующего нас требования закончилось обслуживание ровно требований. Ясно, что k ³ m имеет место равенство
Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным и независящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность за время t не завершить ни одного обслуживания (т.е. вероятность того, что не освободится ни один из приборов) равна
Страницы: 1, 2, 3
