МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ.
Выполнил:
Проверил:
г.Пермь 2000.
Построение математической модели прогнозирования поведения является трудной задачей в связи с сильным влиянием политических и других проблем (выборы, природные катаклизмы, спекуляции крупных участников рынка…).
В основе модели лежит анализ некоторых критериев с последующим выводом о поведении доходности и ценовых показателей. В набор критериев входят различные макро- и микроэкономические показатели, информация с торговых площадок, экспертные оценки специалистов. Процедура прогнозирования состоит из этапов:
1. Подготовка и предварительная фильтрация данных;
2. Аппроксимация искомой зависимости линейной функцией;
3. Моделирование погрешности с помощью линейной сети.
Но для повышения точности модели практикуется нелинейный анализ с использованием многослойной однородной нейронной сети. Этапы проведения нелинейного анализа в системе совпадают со стандартными шагами при работе с нейросетями.
1-й этап. Подготовка выходных данных.
Выходными данными являются zi = yi-pi, где yi - реальное значение прогнозируемой величины на некоторую дату, pi - рассчитанное на эту дату с помощью линейного анализа.
2-й этап. Нормирование входных сигналов.
(1)
где xij - j-я координата некоторого критерия Xi, M[Xi] - выборочная оценка среднего квадратичного отклонения.
3-й этап. Выбор функции активации и архитектуры нейронной сети.
Используются функции активации стандартного вида (сигмоидная, ступенчатая), а также следующего вида:
(2)
(3)
(4)
(5)
Архитектура нейронной сети представлена на рисунке:
S1
f1
вектор
входных
S
выходн.
Sm
сигналов
Введены следующие обозначения: Sj - линейные сумматоры; fj - нелинейные функции; используемые для аппроксимации; S - итоговый сумматор.
4-й этап. Выбор алгоритма обучения нейронной сети, основанного на одном из следующих методов: обратного распространения ошибки, градиентного спуска, метода сопряженных градиентов, методе Ньютона, квазиньютоновском. Методы оцениваются по времени, затрачиваемому на обучение и по величине погрешности.
5-й этап. Итоговые вычисления границ прогнозируемого значения:
P=Pлин+Рнелин±Енелин
где Р — итоговое прогнозируемое значение, Рлин и Рнелин значение линейного и нелинейного анализов. Енелин — погрешность полученная на этапе нелинейного анализа.
Результаты задачи прогнозирования используются в построенной на ее основе задаче оптимального управления инвестиционным портфелем. В основе разработанной задачи управления идея минимизации трансакционных издержек по переводу портфеля в класс оптимальных.
Используемый поход основан на предположениях, что эффективность инвестирования в некий набор активов является реализацией многомерной случайной величины, математическое ожидание которой характеризует доходность (m={mi}i=1..n, где mi=M[Ri], i=1..n), матрица ковариаций — риск (V=(Vij), i,j=1..n, где Vij=M[(Ri-mi)(Rj-mj)],i,j=1..n). Описанные параметры (m,V) представляют собой оценку рынка и являются либо прогнозируемой величиной, либо задаются экспертно. Каждому вектору Х, описывающему относительное распределение средств в портфеле, можно поставить в соответствие пару оценок: mx=(m,x), Vx=(Vx,x). Величина mx представляет собой средневзвешенную доходность портфеля, распределение средств в котором описывается вектором Х величина Vх (вариация портфеля [3,5]) является количественной характеристикой риска портфеля х. Введем в рассмотрение оператор Q, действующий из пространства Rn в пространство R2 (критериальная плоскость [3]), который ставит в соответствие вектору х пару чисел (mx, Vx):
Q: Rn-R2 Û "xÌRn, x®((m,x),(Vx,x)). (7)
В задаче управления допустимыми считаются только стандартные портфели, т.е. так называемые портфели без коротких позиций. Правда это накладывает на вектор х два ограничения: нормирующее условие (е,х)=1, где е – единичный вектор размерности n, и условие неотрицательности доли в портфеле, х>=0. Точки удовлетворяющие этим условиям образуют dв пространствеRn так называемый стандартный (n-1)-мерный симплекс. Обозначим его D.
D={xÌRn½(e,x)=1, x³0}
Образом симплекса в критериальной плоскости будет являться замкнутое ограниченное множество оценок допустимых портфелей. Нижняя граница этого множества представляет собой выпуклую вниз кривую, которая характеризует Парето – эффективный с точки зрения критериев выбор инвестора (эффективная граница [3], [5]). Прообразом эффективной границы в пространстве Rn будет эффективное множество портфелей [5]. Обозначим его как y. Данное множество является выпуклым: линейная комбинация эффективных портфелей также представляет собой эффективный портфель [3].
Пусть в некоторый момент времени у нас имеется портфель, распределение средств в котором описывается вектором х. Тогда задачу управления можно сформулировать в следующем виде: найти такой элемент y, принадлежащий y, что r(y,x). Иными словами, для заданной точки х требуется найти ближайший элемент y, принадлежащий множеству Y. В пространстве Rn справедлива теорема, доказывающая существование и единственность элемента наилучшего приближения х элементами множества Y[6]. Метрика (понятие расстояния) может быть введена следующим образом:
r(x,y)=aSi=1,nsup(yi-xi,0)+bSi=1..nsup(xi-yi,0), (9)
где a>0 — относительная величина издержек при покупке, b>0 — относительная величина издержек при продаже актива.
Литература
1. Сборник статей к 30-ти летию кафедры ЭК. ПГУ.
2. Ивлиев СВ Модель прогнозирования рынка ценных бумаг. 6-я Всероссийская студенческая конференция «Актуальные проблемы экономики России»: Сб.тез.докл. Воронеж, 2000.
3. Ивлиев СВ Модель оптимального управления портфелем ценных бумаг. Там же.
