Несмотря на простоту формулировки булевы алгебры исключительно богаты по своему содержанию и давно превратились в самостоятельный раздел абстрактной алгебры. Они нашли самое широкое применение в логико-математических исследованиях, в области инженерии контактно-релейных схем, компьютерных наук, аксиоматической теории множеств, теории моделей и в других областях науки и математики.

Результатом алгебраической формализации логики предикатов явились “цилиндрические алгебры”, введенные в 1961 г. Л. Хенкиным и А. Тарским.

В алгебраизации логики особую роль сыграла оригинальная идея А. Линденбаума (1926/27), который предложил рассматривать формализованный пропозициональный язык как универсальную алгебру с операциями, соответствующими логическим связкам этого же языка. Но самое главное, затем строится логическая матрица из формул и логических связок, которые составляют само логическое исчисление. Полное признание этот метод получил в 40-е годы в терминологии “алгебры Линденбаума”, или “алгебры Линденбаума–Тарского”.

Постепенно алгебраизация логики привела к появлению нового термина “алгебраическая логика”, который стал названием монографии П. Халмоша, где методы и аппарат универсальной алгебры стали систематически применяться к изучению логики. В следующем году выходит “Математика метаматематики”, а затем книга Расёвой, ставшая классической, в которой алгебраические методы применяются к неклассическим логикам. Имеется обзор результатов по алгебраической логике.

4 В поисках логической системы

Ровно через сто лет после выхода в свет знаменитой работы Г. Фреге, в которой вводятся предикаты, отрицание, условная связь и кванторы как основа логики, а также введена идея формальной системы, в которой демонстрации должны осуществляться посредством явно сформулированных синтаксических правил, после ста лет триумфального развития логики как самостоятельной науки появляется статья Я. Хэккинга под названием “Что есть логика?”. Хэккинг высоко оценивает введение Г. Генценом структурных правил, работа с которыми позволяет выражать те аспекты логических систем, которые не имеют непосредственного отношения к логическим константам. Статья Хэккинга переиздается и открывает собой большой сборник работ под названием “Что есть логическая система?”, который издается в Англии и Америке. В этом же году и с тем же названием, что и статья Хэккинга, публикуется философская работа логика с мировым именем Хао, которая открывается определениями логики, начиная от Канта и вплоть до Гёделя, и заканчивается характеризацией логики, данной Л. Витгенштейном в 1921 г. в его “Трактате…”: “Логика трактует каждую возможность, и все возможности суть её факты”.

В этом же году под названием “Что есть истинная элементарная логика?” появляется статья выдающегося логика и философа Яакко Хинтикки, в которой развивается новая концепция первопорядковой логики.

Приходится констатировать, что конец века и конец второго тысячелетия, а именно 1994 г. стал той критической точкой, когда под неимоверным давлением окончательно рухнула конструкция под названием “классическая логика”, тем самым ещё раз подтвердив неправоту Канта, который в предисловии ко второму изданию “Критики чистого разума” в 1787 г. писал, что “судя по всему, она (логика) кажется наукой вполне законченной и завершенной”.

Дедуктивная полнота логики предикатов ещё более укрепила убеждение Гильберта, что вся классическая математика в конечном счете выразима в первопорядковой логике. К этому времени были уже выявлены два важнейших теоретико-модельных свойства теорий в первопорядковом языке:

Теорема Лёвенгейма-Скулема. Если Т имеет бесконечную модель, то Т имеет модель любой бесконечной мощности t , большей или равной мощности теории Т.

Теорема компактности. Пусть Т - произвольное множество аксиом логики. Если для каждого конечного подмножества Т0 множества Т существует модель для всех аксиом из Т0, то существует модель для всех аксиом из Т.

Обе эти теоремы используются для доказательства неаксиоматизируемости теорий.

Вышеприведенный тезис Гильберта разделялся и разделяется многими логиками, отдающими предпочтение классической логике предикатов перед всеми другими логическими системами. К тому же в 1969 г. была выявлена уникальность первопорядковой логики, заключающейся в том, что классическая логика предикатов является наиболее сильной логикой, обладющей свойством Лёвенгейма-Скулема и свойством компактности.

Теорема Линдстрёма даёт определение первопорядковой логики в терминах её глобальных свойств. Интересно, что первоначально результат Линдстрёма не привлёк к себе особого внимания, о чём говорит издание в 1973 г. знаменитой книги Г. Кейслера и Ч. Ч. Чэна, где эта теорема вообще не обсуждается. Только в третьем издании уже в предисловии говорится, что этот результат является отправной точкой для развития абстрактной теории моделей и вводится новый раздел, где дается определение “абстрактной логики” как пары классов, где l есть класс предложений и л l есть отношение выполнимости, удовлетворяющее определенным условиям. Наиболее известным примером абстрактной логики как раз и является обычная первопорядковая логика, которая обозначается посредством lw ,w .

Абстрактная теория моделей претендует на обозрение всего спектра логик, связей между ними и их сравнение. С начала 70-х годов эта теория бурно развивается, а Дж. Барвайс назвал результат Линдстрёма “одним из первых и до сих пор наиболее поразительных результатов в абстрактной теории моделей”.

Имеется много интересных логик, которые богаче первопорядковой логики, такие, как слабая логика второго порядка, которая пытается построить понятие конечного в логике некоторым естественным образом; логики с формулами бесконечной длины; логики с различными экстра-кванторами типа “существует конечно много”, “существует бесконечно много”, “большинство” и т. д.; логики высших порядков. Однако не имеет значения, как мы будем расширять первопорядковую логику - в любом случае теряется или свойство компактности, или свойство Лёвенгейма-Скулема, или оба вместе. Уже второпорядковая логика, допускающая квантификацию по подмножествам, отношениям и функциям, кроме указанных свойств теряет также свойство полноты, и на самом деле является не столько логикой, сколько теорией множеств. Отсюда вся теоретико-множественная проблематика может быть сформулирована во второпорядковых терминах. Это является основным возражением против второпорядковой логики в недавно вышедшей монографии, посвященной расширениям первопорядковой логики, и поэтому автор отдает предпочтение многосортной первопорядковой логике, которая является переинтерпретацией второпорядковой логики или даже логики высших порядков в первопорядковую с различными видами объектов. Редукция к первопорядковой логике настолько сильна, что мы приходим к рекурсивно-аксиоматизируемому множеству истин. Еще ранее А. Мальцев, Хао Ван и С. Феферман, среди прочих, подчеркивали удобство работы с такой логикой, хотя, заметим, она только внешне выглядит более богатой. Хорошее введение можно найти у Фефермана.

Первой работой, поставившей вопрос о введении новых кванторов, является статья А. Мостовского, где на самом деле обсуждаются лингвистические операторы нового вида, представляющие “естественное обобщение логических кванторов”. Идея Мостовского заключается в том, что любое второпорядковое свойство рассматривается как логический квантор, если оно инвариантно относительно биективных преобразований (перестановок). Построение логики с обобщенными кванторами в последние десителетия привлекло к себе большое внимание лингвистов, математиков, философов, когнитологов. Некоторым итогом развития этого направления является фундаментальный труд “Модельно-теоретические логики”, где Дж. Барвайс приходит к следующему выводу: “Нет обратной дороги к точке зрения, что логика является первопорядковой”. А в монографии Г. Шер в связи с данной проблематикой ставится вопрос “Что есть логика?”, обсуждаются границы логики и делается вывод, что логика шире, чем традиционное мышление.

Появляются всё новые попытки расширения и изменения первопорядковой логики и построения искомой логической системы.

Заключение

1987 г. появилась логическая система под названием “линейная логика”, импликативный фрагмент которой представляет собой BCI-логику, т.е. логику без утончения и сокращения. Кроме обычных операций линейная логика снабжена различными другими операциями и нашла широкое применение в компьютерных науках. За удивительно короткое время образовалось новое направление.

Логика без утончения, сокращения и перестановки (комбинатор C) есть ассоциативное исчисление Ламбека для грамматических категорий или синтаксических типов. Логики проявили огромный лингвистический интерес к этой работе. Хотя первоначально исчисление Ламбека не было представлено как новая логика, но получила развитие в чисто логических работах, итогом чего явились полные (full) секвенциальные и гильбертовские исчисления без указанных выше трех структурных правил (или аксиом). Строится по существу интуиционистское исчисление без структурных правил, которое автор рассматривает как наиболее фундаментальное из всех субструктурных логик и играющее важную роль в теоретических приложениях компьютерной науки. На самом деле построение подобных логик можно считать результатом развития направления, названного “субструктурные логики”, где исчисления получаются за счёт элиминации, ограничения и комбинирования различных структурных правил.

Практическая часть

Провести логический анализ высказываний. Построить их формулы

1.     Все люди, страдающие от подагры, лихорадки или болезни глаз - больны; но не все больные люди страдают от подагры, лихорадки и болезни глаз. Точно также все плотники, башмачники, скульпторы - ремесленники; но не все ремесленники суть плотники, башмачники, скульпторы. Подобным образом и все сумасшедшие неразумны, но не все неразумные люди - сумасшедшие.

Все люди, страдающие от подагры, лихорадки или болезни глаз - больны; - общеутвердительное высказывание «все S есть Р»

но не все больные люди страдают от подагры, лихорадки и болезни глаз. частноотрицательное высказывание: «некоторые S не есть Р».

Точно также все плотники, башмачники, скульпторы - ремесленники; общеутвердительное высказывание «все S есть Р».

но не все ремесленники суть плотники, башмачники, скульпторы. - общеутвердительное высказывание «все S есть Р» общеутвердительное высказывание «все S есть Р».

Подобным образом и все сумасшедшие неразумны, -общеутвердительное высказывание «все S есть Р»

но не все неразумные люди - сумасшедшие. - общеутвердительное высказывание «все S есть Р»

2.     Желающие обогащаться впадают в искушение и в сеть и во многие безрассудные и вредные похоти, которые погружают людей в бедствие и пагубу. Либо корень всех зол есть сребролюбие, которому, предавшись, некоторые уклонились от веры и самих себя подвергли многим скорбям.

Превращение является непосредственным выводом, в котором заключение получается путем изменения качества посылки. Если посылка – утвердительное суждение, то в результате превращения оно становится отрицательным суждением. Отрицательное суждение, наоборот, превращается в утвердительное.

Все А есть В.

Ни одно А не есть не -В.

3. Роскошь в одно и то же время и вредна для общества, и полезна; ею пользуются, или же в ущерб другим людям, с которыми это лицо стоит в каких-нибудь отношениях, обязывающих его оказывать другим помощь и поддержку; но с другой стороны, роскошь ведет к трате денег, и потому она полезна для общества.

Нестрогая дизъюнкция — такое разделительное суждение, в котором входящие в него суждения связаны логическим союзом «или», имеющим неисключительное значение /«или А, или В, или то и другое вместе»/. Здесь истинность одного высказывания не отрицает истинности другого.

4. Мы можем быть счастливы только или отрешившись от страстей; или борясь с ними. - Разделительное /дизъюнктивное/ суждение - суждение, в котором выражается знание того, что данному предмету присущ /не присущ/ только один признак из числа указываемых в суждении.

Если мы отрешаемся от них, то это состояние несчастное, так как оно унижает человека, и мы никогда не можем быть им довольны.

Если мы боремся с ними, то это тоже положение несчастное, т.к. нет ничего тяжелее той внутренней борьбы, которую нам постоянно приходится вести с самим собой.

Следовательно, мы никогда не можем быть счастливы.

В том случае, когда исходные суждения объединяются в сложное логическим союзом «если...то», мы имеем дело с условным суждением. Условным суждением называется суждение, в котором отображается зависимость явления от определенных условий и в котором основание и следствие соединяются посредством логического союза «если... то». Логическую операцию связи основания и следствия с помощью союза «если...то» называют импликацией: «Если А, то В».

Список литературы

1. Бузук Г.Л., Ивин А.А., Панов М.И. Наука убеждать: логика и риторика в вопросах и ответах. М.: Высшая школа, 1992.

2. Гжегорчик А. Популярная логика. М.: ИНФРА-М, 1999.

3. Зегет В. Элементарная логика. М.: Мир, 1985.

4. Гетманова А.Д. Учебник по логике. М.: ЭКМОС, 1994.

5. Ивин А.А. По законам логики. М.: Мир, 1983.

6. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. Учебник. М.: Политиздат, 1987.

7. Краткий словарь по логике. М.: Дело, Вита-Пресс, 1991.

Страницы: 1, 2