Пятая важная особенность, непосредственно связанная с предыдущими, состоит в том, что многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта и практики или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту. Действительно, в математике повсюду оперируют одними лишь абстракциями, т. е. обращаемся прежде всего к логике, а по к эксперименту, как это часто имеет место в естествознании.
2. Абстракция актуальной бесконечности.
Сущность абстракции актуальной бесконечности состоит в отвлечении от незавершенности и незавершимости процесса образования бесконечного множества, от невозможности задать такое множество посредством полного перечисления его элементов. Согласно абстракции актуальной бесконечности, в бесконечном множестве можно выделить (индивидуализировать) каждый его элемент. Но на самом деле зафиксировать и описать каждый элемент бесконечного множества принципиально невозможно. Абстракция актуальной бесконечности и представляет собой отвлечение от этой невозможности, что позволяет рассматривать, например, отрезок прямой как бесконечное множество точек, каждую из которых можно индивидуализировать, обозначив ее каким-то действительным числом.
Понятие актуальной бесконечности возникает с помощью процесса идеализации. В данном случае идеализация дает возможность применять к бесконечным множествам простой и хорошо изученный аппарат классической логики. Этот аппарат возник и вполне оправдал себя при исследовании конечных множеств. Идеализированный характер актуальной бесконечности состоит в том, что о бесконечном множестве рассуждают по аналогии с конечными множествами. Кроме того, здесь абстрагируются от конкретных способов построения элементов бесконечного множества и даже допускают, что все его элементы существуют одновременно, а не возникают в процессе построения.
Поскольку актуальная бесконечность представляет собой чрезвычайно сильную абстракцию, то с пониманием ее связан целый ряд трудностей. Прежде всего интуиция восстает против представления бесконечности и виде завершенного процесса. Завершенность бесконечности нередко понимается как ее уничтожение. Так, например, натуральный ряд чисел обычно мыслится как неограниченно продолженный, и интуиции нелегко свыкнуться с представлением о законченности этого ряда.
Еще Аристотель возражал против использования и науке понятия актуальной бесконечности, ссылаясь на то, что известен способ счета только на конечных множествах. Он указывал, что конечное число разрушается актуальной бесконечностью.
Разбирая возражения, Кантор указывает, что и с бесконечными множествами можно производить некоторые действия счета, если определенным образом упорядочить их. Разница будет состоять только в том, что если для конечных множеств порядок элементов не влияет па результат счета, то для бесконечных множеств он зависит от способа их упорядочения. Часто отмечали также, что актуальную бесконечность нельзя целиком объять в мысли, так как она предполагает сосчитанным бесконечное множество. Возражая против этого, еще Б. Больцано заметил: чтобы вообразить целое, нет необходимости представлять отдельно его части.
Понятие актуальной бесконечности приводит к чрезвычайно неожиданным следствиям, например, утверждение, что для бесконечных множеств аксиома «часть меньше целого» теряет свою силу. Действительно, еще в XVII в. Галилей заметил, что квадраты целых положительных чисел могут быть поставлены во взаимноднозначное соответствие с самими положительными числами, и следовательно, эти множества эквивалентны.
Все эквивалентные множества обладают определенным общим свойством, которое можно выделить с помощью абстракции отождествления. Это свойство в математике принято называть мощностью множества. В случае конечных множеств она совпадает с количеством элементов. В случае же бесконечных множеств, указывает Кантор, нельзя говорить о каком-либо точном определенном количестве их элементов, но зато им можно приписать определенную, совершенно не зависящую от их порядка мощность.
Воспользовавшись понятием мощности, можно определить бесконечное множество как множество, равномощное с какой-либо своей частью, или, как говорят математики, собственным подмножеством. Например, множество натуральных чисел будет равномощно с множеством квадратов натуральных чисел, или с множеством всех четных чисел, или с множеством чисел, кратных 3, 5, 7, или вообще нечетных чисел и т. д. И множество квадратов целых чисел, и множество четных чисел так же, как и нечетных, составляют лишь часть множества натуральных чисел, но тем не менее они эквивалентны целому множеству. Обычно такого рода примеры вызывают недоумение у тех, кто впервые приступает к изучению теории множеств. Кажется невозможным, чтобы часть множества была эквивалентна целому. На этой основе и возникает критическое отношение к актуальной бесконечности.
На первый взгляд может показаться, что все существующие бесконечности имеют только одну мощность. Множества и натуральных, и рациональных, и алгебраических чисел являются счетными множествами. Прибавление к таким множествам любого числа конечных, или счетных, множеств дает в итоге счетное множество. Даже умножение на счетное множество не выводит за пределы счетных множеств.
Однако если сравнить мощность натурального ряда чисел с мощностью всех действительных чисел или множеством всех точек отрезка прямой, то обнаружится, что они неравномощны. И множество всех действительных чисел, и множество точек отрезка имеют мощность большую, чем мощность счетного множества. Поэтому действительные числа, как и точки отрезка, нельзя «пересчитать» с помощью натуральных чисел. Мощность множества действительных чисел, или точек отрезка, или любой геометрической фигуры, содержащей по крайней мере одну линию, принято называть мощностью континуума. Кантору не удалось обнаружить множеств, мощность которых была бы промежуточной между мощностью счетного множества и континуума. Поэтому он высказывал предположение, что континуум непосредственно следует за мощностью счетного множества. Решение этой знаменитой континуум-гипотезы долгое время не поддавалось никаким усилиям, и в свое время она была названа Гильбертом одной из важнейших нерешенных проблем математики. В 30-с годы К. Гёдель установил, что континуум-гипотеза не может быть опровергнута, исходя из аксиом теории множеств. П. Коэн, развивая идеи Гёделя, доказал, что континуум-гипотеза независима от других аксиом теории множеств. Иными словами, исходя из указанных аксиом, она не может быть ни доказана, ни опровергнута.
Таким образом, добавление к аксиомам теории множеств как континуум- гипотезу, так и противоположное ей утверждение, никогда не приведет к логическому противоречию. Выходит, что могут существовать разные теории множеств, в одних из которых континуум-гипотеза выполняется, в других нет. В этом открытии Коэна нетрудно обнаружить аналогию с открытием неевклидовой геометрии, когда стало ясно, что аксиома параллельных независима от остальных аксиом абсолютной геометрии.
Благодаря трудам Кантора и его последователей понятия и методы теории множеств заняли прочное место в математике. Теория множеств дает возможность анализировать с единой точки зрения все математические науки: ведь элементами множеств могут быть всевозможные математические объекты — и числа, и фигуры, и функции и т. п. Такая общность избавляет от необходимости доказывать, теоремы для частных видов математических объектов. Все эти доказательства можно проводить теперь в общем виде.
Предельная общность и широта применения понятии и методов теории множеств не только для развития фактического содержания математики, по и для обоснования ее на новом фундаменте со временем привели к господству в математике теоретико-множественных идей.
В 1902 г. Б. Рассел обнаружил парадокс, который непосредственно связан с канторовским определением понятия множества. Это определенно не запрещает рассматривать в качестве элементов множеств некоторые другие множества. Назовем такие множества необычными или лучше множествами второго рода. Примерами таких множеств могут служить множество множеств, каталогов библиотеки, множество множеств списков или вообще любое абстрактное множество множеств. К множествам первого рода, или обычным, относятся то, которые но содержат в качестве своих элементов множества. Так, множество звезд будет именно таким множеством.
Если теперь задать вопрос, к какому роду относится множество всех тех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента, то на него можно дать два взаимоисключающих ответа.
Если допустить, что указанное множество (в дальнейшем называемое расселовским) относится к необычным, то оно, будучи элементом множества всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, не должно принадлежать к необычным множествам. Следовательно, предположение о принадлежности расселовского множества к необычным множествам ведет к прямо противоположному результату: это множество должно принадлежать к обычным множествам. Исходя из полученного результата, легко обнаружить, что расселовское множество должно содержать себя в качестве элемента, т. е. оно должно принадлежать к необычным множествам. Выходит, что относительно множества всех множеств, не содержащих себя и качестве элемента, можно доказать дна прямо противоположных утверждения. Возникает парадокс.
Какой же вывод был сделан из первых парадоксов? Какие способы их устранения были предложены математиками? Многие математики, ознакомившись с парадоксами, в первое время просто их игнорировали, утверждая, что они представляют собой крайне искусственные построения. Поскольку ни в математическом анализе, ни в геометрии такие парадоксы не были обнаружены, то не слодует-де особенно беспокоиться о парадоксах, которые возникают на окраинах теории множеств. Ясно, однако, что такой подход нельзя считать удовлетворительным, ибо нет уверенности, что эти парадоксы не могут не возникнуть в анализе и геометрии, если они строятся на теоретико- множественной основе.
Наиболее радикально решение было предложено интуиционистами. Они подвергли критике идею актуальной бесконечности и основанную на ней канторовскую теорию множеств. Понятия «все» и «существует», но мнению основоположника интуиционизма Брауэра, нельзя применять к бесконечным множествам. Любое утверждение о существовании в бесконечном множестве элемента с определенными свойствами состоит в действительном указании такого элемента. Но очевидно, что нельзя перебрать все элементы бесконечного множества. Именно в связи с этим интуиционисты отказываются от актуальной бесконечности и возвращаются к бесконечности становящейся, потенциальной.
Страницы: 1, 2, 3
