Для иллюстрации того, насколько мощным средством научного познания является метод математической гипотезы, рассмотрим его применение в различных теоретических схемах неклассической физики, особенно в той ее части, где перестают работать наши привычные представления о мире: в квантовой теории.
Успешное решение М. Планком проблемы теплового излучения было обусловлено его творческим теоретико-математическим методом, в некоторых моментах которого очень четко заметно применение метода математической гипотезы. На основе модельных представлений (излучающее тело – совокупность вибраторов, аналогов классических макроскопических вибраторов Герца) Планк получил уравнение, связывавшее энтропию и энергию вибратора, которое являлось аналогом закона Вина, а потом, убедившись в недостаточности этого закона, начал изменять математическую форму, связывавшую входящие в него величины. Эти изменения были ограничены, во-первых, экспериментальными данными, во-вторых, известными математическими связями между физическими величинами (закон смещения Вина, термодинамические соотношения). В результате Планк, лавируя между двумя граничными случаями, обусловленными формулой Вина с одной стороны, и опытными фактами с другой, нашел новую математическую форму, связывающую энтропию и энергию вибратора, и, как следствие, формулу излучения абсолютно черного тела, совпадающую с экспериментом. В процессе вывода формул Планк стремился экстраполировать на изучаемое явление математический аппарат и принципы уже изученных явлений классической физики. Эта экстраполяция удалась при сохранении математических форм, но при отступлении от всех физических представлений классики. Классическую формулу для непрерывного излучения Планк использовал в той области, где важен уже его дискретный характер. Такая экстраполяция была неявной, но привела к гипотезе квантованности электромагнитного излучения и световых квантов. Неверно, однако, называть гипотезу квантов математической гипотезой, так как речь в ней идет про физическое подобие процессов излучения и поглощения энергии, но она появилась как физическое объяснение математической гипотезы, как результат логики математических преобразований, проведенных над атомистическими по сути формулами Больцмана и Вина. Вместе с физической идеей о взаимосвязи энтропии и вероятности Планк позаимствовал и математический аппарат, описывавший эту связь, с которым в его рассуждения проникла и идея дискретности. Математические преобразования не только привели к качественному принятию идеи дискретности энергии, но и дали математическое выражение этому физическому факту. Поэтому, хотя сама гипотеза световых квантов является физической, но конкретное количественное соотношение для энергии () – математической гипотезой, причем наипростейшей из возможных.
Так как гипотеза квантов была физической, то требовала физического же обоснования. В то время единственным ее подтверждением было то, что она позволяла получить аналитическую формулу для черного излучения, что было недостаточно для физической гипотезы. Действительно, где гарантия, что нельзя отыскать другой вид формулы, не используя настолько невероятное предположение о дискретности энергии и действия? На протяжении десятилетия Планк безуспешно пытался вписать квант в рамки классической теории, так как он нарушал введенные Ньютоном и Лейбницем представления о непрерывности всех причинно-следственных связей. Однако подтвердить или отвергнуть гипотезу квантов могло только дальнейшее развитие науки, ее всесторонняя опытная и теоретическая проверка, что было осуществлено Эйнштейном (уравнение фотоэффекта, объяснение эмпирических законов Столетова и еще один способ измерения кванта действия), Эренфестом, Бором, Зоммерфельдом и другими учеными. В то же время работы Эйнштейна углубили противоречие между представлениями о природе света. Действительно, объяснить фотоэффект можно было лишь исходя из квантовой трактовки света, в то время, как были известны сотни опытов, утверждающих, что световой поток – это нечто непрерывное, волнообразное. Да и в самой формуле Планка-Эйнштейна () фигурирует частота колебаний поля. Некорректная трактовка (попытка взглянуть на квантовую гипотезу с классической точки зрения) привела к неприятию многими физиками ни теории Планка, ни квантов света Эйнштейна. А полностью подтверждены они были лишь после опытов Франка-Герца и создания Бором квантовой теории атома.
На примере создания Планком основ квантовой теории видны характерные признаки применения метода математической гипотезы: экстраполяция классических уравнений на новую область при полном отказе от их физического толкования, использование в теории с самого начала фундаментальных законов физики (закона сохранения энергии и т.д.), промежуточные проверки гипотезы опытными фактами (излучение черного тела – фотоэффект – опыты Франка-Герца – теория атома), трудности в физической интерпретации полученных математических уравнений.
Теория атома Бора непосредственно касалась двух областей физики: спектрального анализа и химических свойств элементов, имеющих к началу XX века огромное количество опытных фактов. В теории излучения черного тела речь шла о непрерывных спектрах, которые были известны еще со времен Ньютона. Однако в 1859 году Бунзен и Кирхгоф, поместив в пламя горелки поваренную соль, обнаружили наличие линий в спектре излучения. Далее было показано, что и молекулы других элементов дают не непрерывные, а линейчатые спектры, были замечены серии линий в спектрах, показано уменьшение расстояния между соседними линиями серии при движении к фиолетовой области. Заметна была и некоторая закономерность в интенсивности линий спектра. Естественно, были и попытки подобрать математические формулы для длин волн линий спектра, которые впервые привели к успеху в 1885 году в работе Бальмера, получившего чисто эмпирическую формулу для одной из серий спектра атомарного водорода. Далее аналогичные формулы были получены Лайманом, Пфундом, Пашеном и Брэккетом. Стало ясно, что дискретность спектров связана с каким-то свойством атомной системы. Кроме того, классическая электродинамика на основе доквантовых представлений вообще не могла объяснить устойчивое существование излучающего свет атома в течении более чем 10-8 секунды. Выход был найден Бором и состоял в идее о квантовании еще одной величины: момента импульса электрона, что приводило к представлению о невозможности движения электрона по любой орбите.
Теория Бора объяснила спектр водорода, позволила теоретически вычислить постоянную Ридберга, уточнила представления о спектре гелия, обосновала отличие постоянной Ридберга для водорода и для гелия, на основе спектроскопических данных Бор вычислил основную величину электронной теории - отношение заряда и массы электрона. Через два года идеи Бора были развиты Зоммерфельдом и Вильсоном. Они заменили круговые орбиты электрона на эллиптические и ввели элементы релятивистской механики (зависимости массы электрона от скорости и т.д.). Эти усовершенствования позволили объяснить тонкую структуру спектров, эффект Штарка и спектроскопию рентгеновских лучей. Успехи теории говорили о том, что в ее постулатах отображена в какой-то мере сущность явлений микромира, что подтверждало гносеологическую позицию Бора, отказавшегося от попыток построения классической модели атома. На основе наглядной модели атома Резерфорда Бор взял классические уравнения, изменил смысл входящих в них величин, проквантовал их, "забрал" у электрона возможность излучать при движении по орбите (хотя он и движется с ускорением) – и получил новую физическую теорию. Однако, в отличие от формулы Бальмера, постулаты Бора не являются эмпирическими, а построены с помощью математической гипотезы.
Начав с вопроса о том, какие изменения нужно внести в классические механику и электродинамику, Бор дальше, по сути, искал математическую форму этих изменений. Его постулаты означают определенное преобразование математического выражения классических законов, квантование уравнений классической физики. Взяв за основу классическую модель атома водорода (ротатор), Бор построил для кинетической энергии электрона новую математическую форму, аналогичную кинетической энергии осциллятора Планка. Но из выражения теории Планка Бор сохранил лишь математическую форму, заменив физический смысл. Квантованный вид энергии ротатора привел к квантованию момента импульса, и, следовательно, к дискретности орбит. Постулат квантованности орбит, таким образом, представляет собой математическое соотношение между параметрами системы. А метод его построения – аналогия. Условие же частот Бора является развитием аналогии между вибратором Планка и атомом как излучающими системами. Более того, как показано в работах Бора, квантовый закон излучения можно рассматривать как основанное на принципе соответствия видоизменение классических уравнений.
Однако, к 1922 году наряду с успехами теории Бора-Зоммерфельда стали все больше проявляться ее недостатки. Например, она не объясняла дисперсию, поглощение, рассеяние света, а точные количественные расчеты спектров были получены только для атома водорода, в ней не пояснялись эффекты Пашена-Бака, аномальный эффект Зеемана, теория пасовала при попытке описать поведение атома водорода во взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях, тонкое и сверхтонкое расщепление спектральных линий и т.д. Спасти ситуацию могла лишь принципиально новая теория квантов, новая как физически, так и математически – квантовая механика.
Для новой квантовой теории атомных процессов характерны два момента. Во-первых, она означала признание прав идеи дискретности в физике. Законы классической физики не ограничивали количественных значений входящих в них величин, постулировалось, что они выполняются для сколь угодно малых масс, энергий и т.д. Новая теория была знаменательна тем, что ввела постулаты Планка и необходимость дискретных представлений в свои исходные уравнения. Тем самым ее уравнения оказались справедливыми для микропроцессов, в которых величина действия сравнима с постоянной Планка. Таким образом, она выступала как обобщение, уточнение классической механики, результат отображения роли дискретности в процессах микромира. Потом выяснилось, что это торжество дискретности означало и торжество непрерывности (корпускулярно-волновой дуализм), то есть трудности теории Бора-Зоммерфельда в значительной степени объяснялись абсолютизацией дискретного.
Первый вариант квантовой механики (матричная механика) был разработан в работах В. Гейзенберга, М. Борна, П. Йордана. На протяжении нескольких лет в рассуждениях физиков преобладала следующая схема. Сначала изучаемый процесс рассматривался в рамках классических теорий с использованием квантовых условий Бора-Зоммерфельда, потом использовался принцип соответствия, координату и импульс раскладывали в ряды Фурье, а от полученной совокупности классических частот, фаз и амплитуд этих рядов переходили к квантовым частотам. Этот путь был "обходным", а отсутствие точных правил преобразования "классика–кванты" приводил часто к ошибкам. В работе же Гейзенберга предлагалось заменить операции над величинами операциями над их совокупностями. Мысленный анализ материала позволил Гейзенбергу, опираясь на подобие математической формы важных уравнений классической теории и условия частот Ритца, записать основные уравнения новой теории, экстраполировать на квантово-механические явления старые уравнения, придать им новый смысл. Рассмотрение предыстории матричной механики показывает также, что этот мысленный анализ стал следствием накопления практики применения математических гипотез на протяжении ряда лет в рамках теории Бора (многократное использование идеи соответствия Бора, связанные с этим неудачи и успехи показали, как нужно истолковывать эту идею, следовательно, сама практика подсказала, какой новый математический аппарат нужно создавать, какими должны быть исходные уравнения новой теории).
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5
